Основания равнобедренной трапеции равны 33 и 75, боковая сторона 75. найдите длину диагонали трапеции.

Трапеция авсд, ав=сд=75,угола=уголд,  вс=33, ад=75, проводим высоты вн и ск на ад, нвск-прямоугольник вс=нк=33, треугольник авн=треугольник ксд как прямоугольные по гипотенузе и острому углу, ан=кд=(ад-нк)/2=(75-33)/2=21, треугольник авн прямоугольный, вн=корень(ав в квадрате-ан в квадрате)=корень(5625-441)+72=ск, ак=ан+нк=21+33=54, треугольник аск прямоугольный, ас=корень(ск в квадрате+ак в квадрате)=корень(5184+2916)=90=вд

круг можно тремя разрезами разделить на 7 частей:   линия каждого  разреза пересекается с двумя другими и получится 3•2 части, плюс часть, которая получится между ними (см. рисунок). 

блин также можно разделить на 7 частей, если его не сворачивать. если первым разрезом поделить блин пополам, затем наложить одну половину на другую и  двумя сквозными пересекающимися разрезами разделить эти половини еще на 4 части , то блин можно разделить на 8 частей. 

так как каравай имеет высоту, можно разделить  его таким образом:

  первый разрез провести по высоте - получатся две круглые части. 

затем крестообразно провести еще два разреза  от края до края и получить  наибольшее количество частей, на которое его можно разделить - 8 частей. 

Вправильной шестиугольной призме противоположные грани параллельны. в основаниях малые диагонали равны. внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°. точки а, с₁, в и d₁ не лежат в одной плоскости, поэтому прямые ас₁ и bd₁ скрещивающиеся. ab║de и ab = de, значит авd₁e₁ параллелограмм, ⇒  ае₁║bd₁. тогда ∠e₁ac₁ = ∠(ае₁ ; ac₁) = ∠(bd₁ ; ac₁) = α - искомый. найдем малую диагональ шестиугольника из δавс по теореме косинусов: ас² = ав² + вс² - 2·ав·вс·cos120° ac² = 9 + 9 - 2·3·3·(-1/2) = 18 + 9 = 27 ас = 3√3,    ае = ас = 3√3. δаее₁: ∠аее₁ = 90°, по теореме пифагора                 ае₁ = √(ае² + ее₁²) = √(27 + 16) = √43 δасс₁ = δаее₁ по двум катетам, значит ас₁ = ае₁ = √43 с₁е₁ = ас = 3√3 (малая диагональ правильного шестиугольника) из δс₁ае₁ по теореме косинусов: с₁е₁² = ас₁² + ае₁² - 2·ас₁·ае₁·cosα cosα = (ас₁² + ае₁² - c₁e₁²) / (2·ac₁·ae₁) cosα = (43 + 43 - 27) / (2 · √43 · √43) = 59/86 α = arccos (59/86)