Угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120. площадь боковой поверхности конуса равна 3pi. найдите объем конуса

Sбок =  πl²α / 360. отсюда l² = 360* sбок  /  π*α = 360*3π /  π*120 = 9     l = 3. здесь  l - длина образующей конуса.длина дуги развертки (это сектор) равна длине окружности основания конуса:   πlα / 180 = 2πr, отсюда r =  πlα / 180*2π =(3*120) /  360 = 1. площадь основания so =  πr² =  π*1² =  π. высота конуса h =  √(l²-r²) =  √(9-1) =  √8. объём конуса v = (1/3)so*h = (1/3)*π*√8.

Перед вычислением сделаем дополнительное действие - найдём высоту.

Назовём нашу высоту KN.

В равнобедренном треугольнике высота находится по формуле:

Вычисление

1)

Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе

Так как в равнобедренном треугольнике высота - это и биссектриса, то мы изначально находим именно половину синуса.

2)

Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе

3)

Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету

4)

Котангенс - это отношение прилежащего катета к противолежащему катету

Строим сечение. Соединяем точку В с точкой К (серединой SC)

Проводим КМ || AB, Соединяем точку М с точкой А

Сечение ВКМА- трапеция.

КМ- средняя линия треугольника SCD и КМ=1/2 CD=1/2

В треугольнике BSC  SK- медиана, но так как треугольник равносторонний, то и высота. По теореме Пифагора BK²=BC²-KC²=1-(1/2)²=3/4.

BK=√3/2.

Находим площадь равнобедренной трапеции : МК=1/2, АВ=1, ВК=МА=√3/2 ( см рисунок 2)

Проводим высоты КН и МР.    ВН=РА=1/4

По теореме Пифагора

КН²=ВК²-ВН²=(√3/2)²-(1/4)²=3/4-1/16=12/16-1/16=11/16

КН=√11/4

S(сечения)=(АВ+КМ)КН/2=1/2 ·(1+1/2)√11/4=3√11/16

Объяснение: