Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3, высота самой пирамиды- корень 3 см. найдите площадь полной поверхности пирамилы

высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3, высота самой пирамиды –  √3 см. найдите площадь полной поверхности пирамиды.

высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3, высота самой пирамиды –  √3 см. найдите площадь полной поверхности пирамиды.

определение:  

правильная треугольная пирамида  - это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, все боковые грани равнобедренные треугольники,   а вершина проецируется в центр основания.

решение:

площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности. 

для решения нужно знать сторону основания и апофему ( высоту боковой грани). 

см. рисунок, данный в приложении. 

по условию ан=3 см, мо=√3 см

центр основания пирамиды является центром вписнной в нее окружности с радиусом он. 

радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен 1/3 его высоты. 

r=он=1/3 ан=1 (см)

⊿  мно прямоугольный, мh=√(mo²  +oh²  )=√4

мн=2 (см)

все углы ∆ авс=60°

вс=ас=ав=ан: sin 60°

bc=3•2: √3=2√3

по формуле площади правильного треугольника s=a²√3): 4

s (осн)={(2√3)²•√3}: 4=3√3 (см²)

площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

s (бок)=мн•(ав+вс+ас): 2

s (бок)=2•3•(2√3): 2=6√3 (см²)

s (полн)=3√3+6√3= 9√3≈15,588 см²

Так как точки м, n, k - середины сторон, а также исходя из того что треугольник равнобедренный и все его стороны равны ab=bc=ac делаем вывод что am=mb=bn=nc=ak=kc.  так как в равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов, то треугольники amk, mbn и nck равнобедренные (am=ak в треугольнике amk, mb=bn в треугольнике mbn, nc=kc в треугольнике knc) и каждый из них имеет один угол в 60 градусов. исходя из того что 2 угла у основы равнобедренного треугольника равны решаем уравнение х+х+60=180градусов. получаем х=60 градусов, то есть все углы треугольников amk, mbn и knc равны 60 градусов, значит это равнобедренные треугольники, а раз они равнобедренные то все их стороны равны. то есть am=ak=mk, mb=bn=mn, kc=nc=nk, то есть am=ak=mk=mb=bn=mn=kc=nc=nk, значит mk=mn=nk =) mnk-равносторонний

Диагонали разбивают прямоугольник на два прямоугольных треугольника с острым углом 30 градусов. в таком треугольнике стороны:   короткий катет,  длинный катет,  гипотенуза (диагональ прямоугольника) относятся как 1: √(3): 2.  проекции боковых ребер пирамиды - это половинки гипотенуз. в условии не указано, ad=5 (нельзя обозначать строчными буквами "ad") короткая или длинная сторона прямоугольника, поэтому в  возможны два варианта. если 5  равен короткий катет , то гипотенуза равна 10, а площадь основания 5*5*√(3)=25*√(3).    в прямоугольных треугольниках, образованных    высотой пирамиды,  боковым  ребром, и проекцией бокового ребра (половинкой гипотенузы) высоту определяем по пифагору: h=√13^2-5^2)=12. тогда объем равен   v=(1/3)*12*25*√(3)=100*√(3). если 5 равен длинный катет, то короткий катет 5/√(3), гипотенуза 10/√(3), площадь основания (5/√(3))*(10/√(3))=50/3. высота пирамиды равна   h=√(13^2-  (5/√(3))^2)=√(482/3), а объем v=(1/3)*100*√(3)*√(482/3)=(100/3)√(482). ответ "некрасивый", наверное все же первый вариант, но в условии что-то пропущено.