Мне нужен краткий конспект на тему *правильные многогранники* надо.

треугольник  abc  подобен треугольнику  mbn  по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. тогда углы  bac  и  bmn  равны, и  ac  ||  mn. далее,  pq  ||  ac  поскольку является средней линией треугольника  adc. значит,  mn  ||  pq  и поэтому  p,  q,  m  и  n  лежат в одной плоскости.

б) пусть объём  abcd  равен  v. пятигранник  apmcqn  состоит из четырёхугольной пирамиды  pacnm  с основанием  acnm  и треугольной пирамиды  pqcn  с основанием  qcn. выразим их объемы через  v.

расстояние от  p  до (bcd) вдвое меньше расстояния от  a  до (bcd), а площади треугольников  qcn  и  bcd  относятся как 1  :   6. значит, 

площадь треугольника  mbn  составляет    площади  abc. значит,    расстояние от точки  p  до (abc) вдвое меньше расстояния от  d  до (abc), поэтому 

таким образом,    то есть ответ:   13 : 23. 

30

Объяснение:

Про­длим сто­ро­ны AB и CD до пе­ре­се­че­ния в точке K. В тре­уголь­ни­ке AKD сумма углов KAD и KDA равна 90°, сле­до­ва­тель­но, ве­ли­чи­на \angle AKD=180 в сте­пе­ни circ минус \angle KAD минус \angle KDA=90 в сте­пе­ни circ. Зна­чит, тре­уголь­ник AKD — пря­мо­уголь­ный. Рас­смот­рим тре­уголь­ник AKD, он пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но, центр опи­сан­ной окруж­но­сти — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы, то есть точка F. Зна­чит, AF=KF=FD=R= дробь, чис­ли­тель — AD, зна­ме­на­тель — 2 .

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AKF и GKO, угол AKF — общий, углы KGO и KAF равны как со­от­вет­ствен­ные углы при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен дробь, чис­ли­тель — OK, зна­ме­на­тель — KF =k. Ана­ло­гич­но, по­доб­ны тре­уголь­ни­ки FKD и OKH, их ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен дробь, чис­ли­тель — OK, зна­ме­на­тель — KF =k. По­ка­жем, что от­рез­ки GO и OH равны: GO=kAF,OH=kFD=kAF=GO. Рас­смот­рим тре­уголь­ник GKH, он пря­мо­уголь­ный, ана­ло­гич­но тре­уголь­ни­ку AKF точка O — центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка GKH, от­ку­да GO=KO=OH= дробь, чис­ли­тель — GH, зна­ме­на­тель — 2 . Ана­ло­гич­но, в тре­уголь­ни­ке BKC — BE=KE=EC= дробь, чис­ли­тель — BC, зна­ме­на­тель — 2 .

По­лу­ча­ем: OH=KO=KE плюс EO=EC плюс дробь, чис­ли­тель — EF, зна­ме­на­тель — 2 , от­ку­да EC=OH минус дробь, чис­ли­тель — EF, зна­ме­на­тель — 2 = дробь, чис­ли­тель — GH минус EF, зна­ме­на­тель — 2 . Зна­чит, BC=2EC=GH минус EF=11.

От­ре­зок GH — сред­няя линия тра­пе­ции, сле­до­ва­тель­но, GH= дробь, чис­ли­тель — AD плюс BC, зна­ме­на­тель — 2 , от­ку­да AD=2GH минус BC=2 умно­жить на 15 минус 11=GH плюс EF=19.

Основания 11; 19.

Сумма 11+19=30