На прямой последовательно взяты точки a, b, c, d так, что ab : bc = 2 : 3 и bc : cd == 4 : 5. найдите отношение ab : bc : cd.

Ab : bc = 2 : 3 . ab=2вc/3 bc : cd =   4 : 5.   cd=5bc/4ab : bc : cd=2вc/3 : вс :   5bc/4=2/3 : 1 : 5/4= 8 : 12 : 15.

Обозначим ab=x ab/bc=2/3 x/bc=2/3 3x=2bc bc=3x/2. (3x/2)/cd=4/5. 15x/2=4cd cd=15x/8 . если переумножить 1 и 2 отношение подучим: ab: bc: cd=x: 3x/2: 15x/8=8: 12: 15 ответ: 8: 12: 15

соотношение ав/вс=0,75=75/100=3/4- это отношение прилежащего катета к противолежащему, значит это котангенс. итак ctg a=3/4

формулы для расчета:

  ctg"2a+1=1/sin"2а   и  sin"2а+соs"2а=1 

  производим расчет по этой формуле:

    ctg"2a=(3/4)"2=9/16 

(9/16)+1=  1/sin"2а далее  1/sin"2а=25/16 или  sin"2а=16/25

  из второй формулы для расчета выражаем  соs"2а=1- sin"2а

  подставляем:   соs"2а=1-16/25=9/25 

  соsа= квадратный корень из (9/25)=3/5

  примечание:   запись соs"2а означает косинус квадрат а (" - знак степени).

Так как внешний угол равен 120 градусов, то смежный с ним внутренний угол равен 30 градусов. второй острый угол прямоугольного треугольника равен 90-30=60 градусов. по следствию из теоремы синусов, в треугольнике  против большего угла лежит большая сторона. значит, меньший катет треугольника лежит против угла в 30 градусов. пусть меньший катет равен х см, тогда гипотенуза равна (х+15) см. по определению синуса острого угла прямоугольного треугольника, синус того угла, который равен 30 градусов, равен х/(х+15) (противолежащий катет разделить на гипотенузу), но мы знаем, что синус 30 градусов равен 1/2. получаем уравнение x/(x+15)=1/2; 2x=x+15; x=15. т.е. меньший катет равен 15 см, а гипотенуза равна 15+15=30 см. ответ: длина гипотенузы равна  30 см.