Втрапеции abcd стороны ab и cd параллельны и cd = 2ab. на сторонах ad и bc выбраны точки p и q соответственно так, что dp : pa = 2, bq : qc = 3 : 4. найдите отношение площадей четырёхугольников abqp и cdpq.

Дана трапеция авсд : ав ||  сd, cd=2ad. dp : pa = 2, bq : qc = 3 : 4 найти отношение площадей четырёхугольников abqp и cdpq. решение. ( см. рисунок) обозначим ab=a, cd=2a. продолжим боковые стороны трапеции до пересечения. получим треугольник dкc. ab-  средняя линия этого треугольника, так как ab || cd и сd=2ab. значит  da=aк и cb=кb. обозначим ар=x, тогда dр=2х ( см. условие dp : pa = 2) и ad=3x=ak вq=3y, тогда qc=4y  и вс=7у=кв. обозначим высоту трапеции h  и найдем площадь трапеции s=(a+2а)h/2=3ah/2. отсюда ah=2s/3 высота треугольника dkb равна 2h, высота треугольника акв равна h. (ав- средняя линия треугольника dkb) площадь треугольника кав:   ah/2=s/3. площадь треугольника кdc: (2a·2h)|2=2ah=4s/3 найдем площадь треугольника кав по другой формуле: половина произведения сторон на синус угла между ними (ак ·кb·sinα)/2, где α- угол между ак и кв. приравняем найденные площади треугольника кав: s/3=(3х·7у·sinα)/2⇒ x·y·sinα=2s/63. найдем площадь треугольника кpq по той же формуле: половина произведения сторон на синус угла между ними  (рк·kq·sinα)/2. получим (4х·10у·sinα)/2= 20х·у·sinα=( заменим х·у·sinα  на 2s/63)=40s/63 площадь четырехугольника авqp найдем вычитая из площади треугольника pkq    площадь треугольника кав: s₁=40s/63-s/3=19s/63. площадь четырехугольника cdpq найдем вычитая из площади треугольника kdc площадь треугольника кqp: s₂=4s/3-40s|63=44s|63 находим s₁: s₂=19s/63 : 44s/63=19/44. ответ 19: 44

А) по известной теореме через центр симметрии и данную прямую можно провести единственную плоскость.

пусть о — центр симметрии, а — данная прямая, α — плоскость, проведенная через о и а.

пусть а ∈ а, построим отрезок оа.

продолжим оа за точку о на расстояние оа1=ао. получим точку а1, симметричную а.

пусть в ∈ а, построим отрезок ов. продолжим ов за точку о на расстояние ов1=ов. получим точку b1, симметричную точке в.

через а1  и в1  проведем прямую b. рассмотрим δaов и δа1ов1⋅aо=а1о, во=ов1, δаов=δа1ов1  как вертикальные, следовательно, δaов=δа1ов1.

тогда, ∠1=∠2 и а || b.

б) пусть а ∈ а. симметричная ей точка а1  тоже принадлежит прямой а; ао=оа1.

точка а произвольна, следовательно, любая точка прямой, а также симметричная точка относительно центра о лежат на прямой а, следовательно, прямая а переходит сама в себя при условии, что проходит через центр симметрии.

Имеется четыре вершины a, b, c и d, значит фигура на рисунке представляет собой четырёхугольник. известно, что два угла четырёх угольника ∠bad=∠bcd=90°, по обозначению углов уже понятно, что это противоположные углы и, значит, наша фигура прямоугольник. но даны ещё два угла, которые дополняют друг друга ∠adb=15° и ∠bdc=75°. сумма этих углов равна 90°. то есть имеем четырёхугольник у которого известно, что три угла равны 90°, значит это прямоугольник, а у прямоугольника все стороны параллельны, т.е. ad║bc.