Отрезок ав равный 15 см, лежит в плоскости α, точка с не лежит в ней. к и м середины отрезков ас и вс. может ли прямая км иметь общие точки с плоскостью α? вычислить расстояние между точками к и м.

Км-средняя линия треугольника авс, следовательно км параллельна ав и равна ее половине, то есть 7,5. по теореме о параллельности прямой и плоскости, км также будет параллельна плоскости а.

схема здесь простая. как указано в , так и строим. оложим все отрезки и соединим точки а, l,е одной прямой. рассмотрим треугольники lfe и kfm. у них углы kfm и lfe равны , lf=fm, kf=fe(по условию). следовательно эти треугольники равны. против равных углов в треугольнике лежат равные стороны и наоборот. отсюда угол lef=углуfkm. значит le параллельна км. аналогично доказываем параллельность al и km (трекгольники ald и kdm). то есть получили - отрезки al и el параллельны одной прямой km, и точка l у них общая. значит отрезки al  и le являются отрезками одной прямой ае и точка l лежит на ней. поскольку через три точки можно провести прямую если только они все лежат на этой прямой.

Всечении получается ромб. отрезок ак = 6*(1/3) = 2. сторона ромба равна  √(4²+2²) =  √(16+4) =  √20 = 2√5. найдём диагонали ромба. так как плоскость сечения параллельна диагонали основания призмы ас, то она пересекает ребро сс₁ в точке е на таком же расстоянии, что и ребро аа₁: се - ак = 2. поэтому диагональ ромба ек = ас = 4√2. расстояние от точки а до линии пересечения плоскости основания и заданной плоскости (точка к₁) равно половине диагонали основания: ак₁ = ов = 4*cos45° = 4*(√2/2) = 2√2. расстояние кк₁ равно половине диагонали искомого сечения. кк₁ =  √(ак²+ ак₁²) =  √(2²+(2√2)²) =  √(4+8) =  √12 =2√3. вторая диагональ вм = 2*кк₁ = 2*2√3 = 4√3. площадь сечения ромба вемк равна: s = (1/2)d₁*d₂ = (1/2)*(4√2)*(4√3) = 8√6 =  19.59592 кв.ед. эту же площадь можно определить другим способом: угол наклона плоскости заданного сечения равен: α = arc tg(2/(2√2) = arc tg(1/√2) = arc tg 0.707107=  0.61548 радиан =  35.26439 градуса.косинус этого угла равен  0.816497. тогда искомая площадь равна площади основания призмы, делённой на косинус угла α: s = (4*4)/0.816497 =  19.59592 кв.ед.