Через середину о диагонали ас прямоугольника abcd проведена прямая, пересекающая стороны вс и ad в точках р и к соответственно. 1) докажите, что арск — параллелограмм. 2) найдите площадь арск, если ак = 4, kd = 8 и ас =13. 3) найдите рк. 4) с микрокалькулятора найдите угол аок.

S(amb)=s(bmc) => s(amb) = 1/2 s(abc) ((1)медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника(1))aк - медиана треугольника amb, так как bk=kms(abk)=s(amk)=1/2 s(abm) = 1/4 s(abc) (аналогично с 1)  т.к вк=км то вм=1/2 * вк  допольнительное построение: прямая проходящая через точку в и паралельная ас; продлеваем ар до пересечения с прямой и ставим точку е  треугольник вке подобен акм ( по 2 углам(век=кам накрест лежащие при прямых ве и ас , секущей ае и вке=акм вертикальные)=> ам/ве=км/вк, т.к км=вк то ам=ве => ве=1/2 * ас  треугольник вре подобен арс ( по 2 углам (вре=арс вертикальные и  век=кам накрест лежащие при прямых ве и ас , секущей ае) => рс/вр=ас/ве, т.к ве=1/2 * ас то рс/вр= 2/1 => вр/вс=1/3проведем mh параллельно apmh - средняя линия acp (так как mh параллельна ap и am=mc) (по признаку средней линии)=> ph=hc(по определению средней линии)kp - средняя линия bmн (по признаку средней линии) => ph=pb(по определению средней линии)ph=hc; ph=pb => ph=hc=pb  s(bkp)=1/2* sin(кbр) * bk* bp (площадь треугольника равна  произведение сторон на синус угла между ними)  s(mbc)=1/2* sin(кbр) * bm*bc    (площадь треугольника равна  произведение сторон на синус угла между ними)s(bkp)/ s(mbc)= 1/2 * sin(кbр)  * bk* bp/1/2* sin(кbр)  * bm*bc ( при этом мы знаем, что bk=1/2 * bm и bp = 1/3 * bc)=> s(bkp)/ s(mbc)=1/6s(bkp)/ s(mbc)=1/6 => s(cmkp)/ s(mbc)=5/6  s(mbc)=1/2 s(abc) (из доказаного выше) =>   s(cmkp)/ s(abc) = 5/12  s(abk)/s(kpcm) = 1/4 s(abc)/ 5/12s(abc)= 3/5

в основании правильной пирамиды - правильный треугольник.   вершина s проецируется в центр о основания.   высота правильного треугольника сн= (√3/2)*а, где а - сторона треугольника.   сн=13√3/2.   в правильном треугольнике высота=медиана и делится центром в отношении 2: 1, считая от вершины. => ho=(1/3)*ch, а со=(2/3)*сн или со=13√3/3, но=13√3/6.  

по пифагору:  

боковое ребро пирамиды sc=√(co²+so²) = √(313/3).

апофема (высота боковой грани) sh=√(нo²+so²) = √(745/12).

боковая поверхность sбок = (1/2)*3*ав*sh =(39/4)*(√(745/3).

координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат начала и конца отрезка. следовательно,  

1). xd=(xa+xb)/2 => xa=2*xd - xb => xa= -2-8= -10.

yd=(ya+yb)/2 => ya=2*yd - yb => ya= 14-5= 9.   точка а(-10; 9)

2). xb=2*xd - xa => xb=8-3=5. yb=2*yd - ya => yb= -4-0= -4.   точка b(5; -4).

параллелограмм - четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны. в данном нам четырехугольнике сторона ав=√((xb-xa)²+(yb-ya)²)=√-2)²+())²)=√(81+25)=√106.

cd=√((xd-xc)²+(yd-yc)²)=√(())²+(-4-1)²)=√(81+25)=√106.

итак, противоположные стороны ав и cd равны. условие параллельности векторов: координаты векторов должны быть пропрпциональны, то есть   их отношение должно быть равно. в нашем случае вектора ав и cd имеют координаты: ав{-9; 5}, a cd{9; -5}. xab/xcd=yab/ycd= -1, то есть ав параллельна cd.

таким образом, четырехугольник аbcd - параллелограмм, что и требовалось доказать.