Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей паралелограмма лежат в плоскости альфа.лежат ли две другие вершины паралелограмма в плоскости альфа.ответ обоснуйте.

Пусть в параллелограмме abcd вершины a,b а также точка пересечения диагоналей o лежат в плоскости a (альфа). рассмотрим диагональ ac. две её точки - a и o - лежат в а, тогда вся диагональ лежит в а, так как если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. значит, вершина c также принадлежит a. аналогично рассуждая, рассмотрим диагональ bd, точки b и o которой лежат в a. тогда точка d также будет лежать в a, так как вся bd лежит в a.

Задание №3

ВD - биссектриса угла АВС по св-ву диагоналей ромба ⇒ ∠АВD=∠DВС; назовём биссектрису угла АВD - ВК; тогда ∠АВК (или ∠КВD) = 1/2 ∠DВС (или ∠АВD); пусть ∠КВD=х°, тогда ∠DВС=2х°;

ромб - это параллелограмм с равными сторонами, поэтому для него работают все св-ва параллелограмма; ВС и АD - параллельные стороны, сумма углов DКВ и КВС = 180°, как односторонних;

х+2х+120=180

3х=60

х=20

Значит, ∠КВD=20°, ∠АВD=2*20=40°, ∠АВС=40*2=80°; ∠АВС=∠АDС по св-ву ромба; сумма ∠АВС+ВАD=180°; значит, ∠ВАD=180-80=100°; ∠ВАD=∠АСD по св-ву ромба.

Задание №9

У квадрата все углы прямые. Прямоугольные треугольники А₁ВВ₁ и С₁DD₁ равны по двум катетам ⇒ А₁В₁=С₁D₁;

У квадрата все стороны равны. Если ВВ₁=ВА₁, то В₁С=А₁А; аналогично, если DC₁=DD₁, то С₁С=D₁А; тогда В₁С=А₁А=С₁С=D₁А и ΔА₁АD₁ с ΔВ₁СС₁ - равные равнобедренные прямоугольные треугольники;

В р/б прямоугольном треугольнике каждый из острых углов = 45°; такими являются все 4 треугольника ΔА₁АD₁, ΔС₁DD₁, ΔΔВ₁СС₁ и ΔА₁ВВ₁;

Угол АD₁D - развёрнутый, равен 180°, ⇒ сумма ∠АD₁A₁, ∠А₁D₁С₁ и ∠C₁D₁D = 180°; если ∠АD₁A₁ и ∠C₁D₁D по 45°, то их сумма = 90°; ⇒ ∠А₁D₁С₁ = 90°; таким образом (из попарного равенства треугольников), все углы четырёхугольника А₁В₁С₁D₁ прямые и стороны попарно равны. Значит, четырёхугольник А₁В₁С₁D - прямоугольник, ч.и.т.д.