Сторона ас треугольника авс параллельна плоскости а, а стороны ав и вс пересекаются с этой плоскостью в точках м и n. докажите, что треугольники авс и мвn подобны

M∈α,n∈α⇒mn∈α ac||α⇒ac||mn⇒< bmn=< bac,< bnm=< bca-соответственные и < b-общий треугольники подобны по 3 равным углам

  для построения   треугольника недостаточно данных; нужны еще один из острых углов или высота треугольника.как известно, длина медианы прямоугольного треугольника равна половине длины его гипотенузы и равна длине радиуса, описанного вокруг этого треугольника.начертим гипотенузу ав. по известной методике деления отрезка на две равные части находим ее середину о.для этого из концов а и в чертим полуокружности радиусом больше половины отрезка, точки их пересечения соединяем прямой.эта прямая   делит ав пополам и является перпендикуляром к ав.место пересечения обозначим о ( оа=аа1, как дано в )вариант 1.   соединяем о с точкой пересечения перпендикуляра и окружности. это вершина с. соединяем а, в, с.   получен равнобедренный прямоугольный треугольник авс.вариант 2.из а, как из вершины откладываем известные острый угол, проводим его сторону до пересечения с окружностью.   точка пересечения - вершина угла с.   авс - искомый треугольник.вариант 3.из а или в возводим перпендикуляр, равный заданной длине высоты треугольника. проводим параллельно ав прямую. все ее точки равноудалены от ав. точку пересечения прямой и окружности обозначим с.треугольник авс - искомый. 

Всечении имеем равнобедренный  треугольник мрк. мк = мр. сторона рк  (по свойству подобных треугольников)  равна 1/4 части вс: рк =a/4. так как углы всех граней тетраэдра равны 60°, то длину сторон мк и мр находим по теореме косинусов из треугольника мдp: (по условию мд = a/2, а  кд = рд = a/4) pm =  √((a²/4)+(a²/16)-2*(a/2)*(a/4)*cos60) = =  √((4a²+a²-2a²)/16 = (a√3) / 4. высота h  треугольника рмк равна: h =  √((3a²/16) - ((a/4)/2)²) = a√22 / 8. искомая площадь равна:   s(mpk) = (1/2)*(a/4)*(a√22/8) = a²√22 / 64.