На отрезки ав=36 см взята точка к найдите длину отрезков ак и dk если ак больше dk в 3 раза

Пуск дк = х тогда ак = 3х х+3х = 36 4х = 36 х = 9 дк = 9 см ак = 3*9 = 27 см

1

решение:

1) углы при основании равны, тогда угол а=углу д=45 градусов,

2) проведем высоты вн и см

3) рассмотрим четырехугольник внмс

он будет параллелограммом, т.к. вн || сн как высоты, вс || нм как основания

тогда вн=сн, вс=нм по св-ву параллелограмма

4) меньшее основание - вс, тогда ан+мд=11-5=6 см.

5) прямоугольные треугольники авн и мвс будут равны, т.к. у обоих углы равны 45 градусов, и гипотенуза равны (т.к. трапеция равнобедренная).

6) ан=мд=6: 2=3 см. (как соответственные элементы)

7) треугольник авн - равнобедренный, тогда вн=ан=3 см

8) площадь трапеции равна половине произведения оснований, помноженное на высоту, т.е. 11+5/2 * 3 = 24 см.2

 

2

решение:

трапеция авсд. угол а и с = 90 градусов, треугольник всд - равнобедренный, тогда углы при основании равны по 30 градусов, тогда сд = 2√3, тогда проведем высоту см, чет-к авсм будет параллелограммом (док-во в 1-ой ), тогда вс = ам = 2√3, треугольник авд - прямоугольный, угол вда равен 30 градусов, угол д равен 60 градусов, тогда дм =  √3, по теореме пифагора см равно 3 см.

площадь равна половине произведения оснований на высоту, т.е. 2√3+3√3/2 * 3 = 2,5√3 * 3 = 7,5√3 см2

 

3

решение:

1) периметр трапеции равен ав+вс+сд+ад, тогда ав+вд=64-24-30=10

ав=вд=5 см., т.к. трапеция равнобедренная.

2) проведем высоты вн и см, тогда четырехугольник внмс будет параллелограммом, т.к. вн || см (высоты), вс || нм (как основания)

вс=нм, вн=см по св-ву параллелограмма.

3) нм=24, тогда ан+мд=30-24=6, а ан=мд, т.к. прямоугольные треугольники равны (док-во из первой )

ан=мд=3 см.

по теореме пифагора найдем вн=4

4) площадь трапеции равна половине произведения оснований, помноженное на высоту, т.е. 24+30/2 * 4=108 см.2

в первой высота равна 1.нужно рассмотреть прямоугольную трапецию, получаемую в сечении плоскостью, перпендикулярной обоим основаниям, проходящем через радиусы описанных вокруг оснований окружностей и боковое ребро пирамиды. радиус окружности, описанной возле меньшего основания, равен 2/√3 (как радиус окружности, описанной возле равностороннего треугольника). радиус окружности, описанной возле большего основания, равен 5/√3 (также равносторонний треугольник). итак, мы имеем дело с прямоугольной трапецией, меньшее основание равно 2/√3, большее основание 5/√3, боковая сторона, равная 2 (по условию - длина бокового ребра), является гипотенузой прямоугольного треугольника. один катет равен 5/√3 - 2/√3 = 3/√3, тогда другой (равный искомой высоте) будет равен 4 - 3 = 1.

 

а во второй делаем следующее: проводим апофему и перпендикуляр к ней из центра основания - точки пересечения диагоналей квадрата, лежащего в основании. будем иметь прямоугольный треугольник с катетом, равным 3 (по условию), и углом в 60 градусов, противолежащим этому катету. гипотенуза, равная половине длины стороны квадрата, равна 3/sin60 = 2√3, значит, сторона квадрата, лежащего в основании, равна 2*2√3 = 4√3, а площадь основания (квадрата) равна 4√3*4√3 = 48. теперь найдем высоту этой пирамиды. она есть катет прямоугольного треугольника, в котором апофема является гипотенузой, угол, противолежащий этому катету, равен 60 градусов, а второй катет мы нашли ранее - 2√3. следовательно, второй катет - искомая высота - равен 2√3*tg60 = 6. таким образом, нам стало известно, что площадь основания пирамиды равна 48, высота 6. находим объем по формуле объема для правильной пирамиды:

vпирамиды = 1/3*н*sоснования = 1/3*6*48 = 96 куб. ед.