Один из углов треугольника равна 150 градусов и противолежащий сторона равна 5 см, определите радиус описанной окружности этого треугольника!

По теореме синусов:       ⇒  r=5: 2 sin 150°=5: 2 sin 30°=5

Пусть  в  треугольнике  авс  ав  =  вс,  ас  =  12см,  высота  вд  =  8см. в  равнобедренном  треугольнике  авс  высота  вд  является  медианой  и биссектрисой.  значит  ад  =  дс  =  1/2 ас  =  1/2*12  =  6см.  в    прямоугольном треугольнике  авд  ав  гипотенуза,  вд  =  8см,  ад  =  6см. по  теореме  пифагора    найдём  ав. ab  =  v(вд^2  +  ад^2)    =  v(8^2  +  6^2)  =  v(64  +  36)  =  v100  =  10(cм) пусть  см  будет  высотой  проведённой  к  боковой  стороне  ас. s_авс  =  1/2 * ас*вд  =  1/2 * ав*см.  отсюда  получим. см  =  ас*вд/ав  =  12*8/10  =  9,6(см) ответ.    9,6см

Для начала точку k я переобозначу как а1, а точку m - как b1,   буквой к обозначу пересечение прямых aa1 и bb1. такие обозначения являются общепринятыми для подобных . итак, задано, что ba1/a1c = 1/2 (ну, или ва1 = вс/3, что то же самое), и св1/в1а = 1/2 (или, то же самое, ав1 = ас*2/3). надо найти ак/ка1. 1. "способ, ради которого такие ." пусть с1 - точка пересечения ск и ав. тогда по теореме чевы ва1*св1*ас1/(а1с*в1а*с1в) = 1; ac1/c1b = 4; по теореме ван-обеля ак/ка1 = ас1/с1в + ав1/в1с = 4 + 2 = 6; 2. способ "без сложных теорем" если провести b1b2 ii bc; то из подобия треугольников ab1b2 и aa1c получается в1в2 = а1с*2/3 = вс*4/9; из подобия треугольников вка1 и в1в2к  в2к/ка1 = в1в2/ва1 = (4/9)/(1/3) = 4/3; отсюда ва1/ка1 = 7/3; aa1/ka1 = 7; ak/ka1 = 6