Один из катетов прямоугольного треугольника равен 21, а второй меньше на 7 см гипотенузы. найдите периметр треугольника.

  меньший каткт  х, гипотенуза х+7. по теореме пифагора ( х+7)^2=[21^2+ x^2.  x^2+14x+49=441+x^2. 14x=392.x=28. гипотенуза равна 35, периметр 21+28+34=84

Задача: Основой прямой призмы является равнобедренный треугольник ABC, в котором АС=ВС, АВ = 6 см, ∠BAC = α, причем tgα=3/4. Найти объем призмы, если площадь ее боковой поверхности в два раза больше за площадь ее основания.

Формула объема прямой призмы:

V = S₀·h,

где S — площадь основы,

      h — высота призмы

Высоту можно найти, использовав формулу боковой площади призмы:

,

где Po — периметр основы призмы.

Необходимо найти периметр и площадь ΔABC (основа призмы).

Рассмотрим ΔABC:

Проведем высоту CH на основу AB. Получим два прямых треугольника.

Р-м ∠ACH:

    AH = AB/2 = 6/2 = 3  (см)

    \:\: CH = AH\cdot tg\alpha \\CH = 3\cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4}=2\frac{1}{4} =2,25" class="latex-formula" id="TexFormula2" src="https://tex.z-dn.net/?f=tg%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%7BCH%7D%7BAH%7D%20%5C%3A%5C%3A%3D%3E%5C%3A%5C%3A%20CH%20%3D%20AH%5Ccdot%20tg%5Calpha%20%5C%5CCH%20%3D%203%5Ccdot%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D%3D2%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%20%20%3D2%2C25" title="tg\alpha = \frac{CH}{AH} \:\:=>\:\: CH = AH\cdot tg\alpha \\CH = 3\cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4}=2\frac{1}{4} =2,25">

Гипотенуза AC за т. Пифагора равна:

     

Найдем периметр ΔABC:

    P = AC·2+AB = 3,75·2+6 = 7,5+6 = 13,5  (см)

Найдем площадь ΔABC:

     

Найдем высоту призмы:

По условию, площадь боковой поверхности призмы в два раза больше площади ее основания:

     

     

Наконец, найдем объем данной призмы:

     

ответ: Объем призмы равен 6,75 см³.

Пусть сторона исходного треугольника равна a. по формуле площади равностороннего треугольника, s=√3a²/4=25√3. тогда площадь меньшего треугольника равна  √3a²/20=5√3.  докажем, что меньший треугольник также равносторонний. так как он отсекается прямой, параллельной стороне исходного треугольника, два угла маленького треугольника, прилежащие к этой прямой,  соответственно равны двум углам исходного треугольника и равны 60 градусам, а третий угол совпадает с углом исходного треугольника, так что тоже равен 60 градусам, что и требовалось. теперь мы   опять  можем воспользоваться формулой площади равностороннего треугольника.  пусть сторона меньшего треугольника равна b, тогда его площадь  будет равна  √3b²/4. значит,  √3b²/4=5√3, откуда b²=20, b=2√5. периметр равностороннего треугольника равен его утроенной стороне, то есть p=3b=6√5 ответ: 6√5