Диагонали ромба abcd пересекаются в точке o. точки a1, b1, c1 и d1 являются серединами отрезков ао, во, со, do соответственно. докажите, что четырехугольник a1b1c1d1 также является ромбом

Рисуете рисунок. у меня основание ac. по условию 2d=ac, ac=4r. чтобы найти r, вам нужно приравнять 2 формулы площади треугольника. s=1/2*h*a s=p*r а-сторона треугольника, р-полупериметр.  значит p*r=1/2*h*aнам нужно все выразить через что-то одно. в данном случае все легко выражается через r. h=100-4r квадрат и все это под корнем (теорема пифа). a=4r. p=(ab+ac+bc)/2. у нас это (4r+20)/2. подставляем (4r+20)/2 * r = 1/2 * 4r *  можно разделить на 4r и умножить на 2 обе части. слева останется r+5, а справа  возведя в квадрат обе части, вы получите квадратное уравнение с корнями -5 и 3.

1)  заданное в отношение 3/2√2 означает, что проекция апофемы на основание abc равна  √(1 - (2 √2/3)^2) = 1/3 от апофемы. проекция апофемы - это радиус вписанной в abc окружности. в правильном треугольнике abc он равен 1/3 высоты. поэтому апофема равна высоте основания, что означает попросту, что в задан правильный тетраэдр, у которого все грани - одинаковые правильные треугольники.2) для этого пункта я не буду делать отдельный чертеж. в задан радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра. он равен  √66; связь между радиусом r и ребром тетраэдра a такая r = a* √6/4; я не буду подробно показывать, как это получается - это отдельная . но - в качестве бонуса не подробно и без рисунка расскажу, как проще всего это найти. предположим, задан куб abcda1b1c1d1  с ребром длины a√2/2. тогда фигура с вершинами ab1cd1 - правильный тетраэдр с ребром a (все ребра тетраэдра  - диагонали граней куба). ясно, что сфера, проходящая через вершины тетраэдра, пройдет через все вершины куба, то есть это сфера, описанная  вокруг куба с ребром b =  a√2/2; радиус такой сферы равен половине большой диагонали куба, то есть r = b√3/2 = a √6/4; по условию a√6/4 =  √66; a = 4√11; 3) итак, ребро тетраэдра равно a = 4 √11; вот теперь можно начать решать .сечение edq - треугольник с постоянной стороной ed. поэтому минимальная площадь будет, если расстояние от q до ed равно расстоянию между скрещивающимися прямыми ed и bc. то есть не нужно находить, где именно расположена точка q. надо найти расстояние между ed и  bc, это и будет значение высоты треугольника edq к стороне ed в "минимальном сечении"(это практически всё решение, дальше одни технические действия).на чертеже ef ii bc; поэтому плоскость edf ii bc. поэтому надо найти расстояние от точки n (середина bc) до плоскости edf.  так как плоскость adn перпендикулярна bc и ef, то "перемещается в плоскость" and. в равнобедренном  треугольнике adn (an = dn)  надо найти расстояние от вершины n до медианы dg; 4) стороны an = dn = a√3/2; высота к an тоже известна - это высота всего тетраэдра do =  a√(2/3); поэтому площадь adn равна an*do/2 = a^2*√2/4; площадь треугольника dgn равна половине площади adn, то есть a^2*√2/8; 5) осталось найти dg; по известной формуле для медианы (2*dg^2) = 2*(ad^2 + dn^2) - an^2 = 2*a^2 + (a*√3/2)^2 = a^2*11/4; dg = a*√11/4; (единственное целое число у меня вылезло : )) 6) nk*dg/2 = sdgn; то есть a^2*√2/8 = nk*a√11/4; nk = a√(2/11); 7) искомая минимальная площадь сечения равна ed*nk/2 = (a√3/2)*(a√(2/11))/2 = (a^2/4)*√(6/11) = 44√(6/11);   я вполне мог ошибиться в числах - у меня нет времени все проверять, это вы уж сами. смысл решения вот