Вравнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, высота трапеции равна 18 см. найдите площадь трапеции.

Положительные числа x₁    ; x  ₂  ; x  ₃    ; x₄ оставляют прогрессию   x₁  ; x₁q ; x₁q² ; x₁q³   ,    x₁   ,  q  > 0.  ; x² -12x +a =0 ;   x₁+  x₁q =12   , a =x₁*  x₁q  = x₁²q   ; x² -3x +b =0 ;   x₁q²+  x₁q³  =3   , b =x₁q² *x₁q³ =x₁².q⁵  . { x₁+  x₁q =12 ;   x₁q²+  x₁q³  =3  .⇔{ x₁(1+ q) =12 ;   x₁q²(1+  q)   =3  . q² =3/12  ⇒q =1/2    (q> 0)  x₁ =12/(1+q) =12/(1+1/2)   8 . 8 ; 4; 2 ; 1  a =  x₁²q  =8²*1/2 =32       [   x² -12x +32 =0  ] b =x₁².q⁵= 8²  *(1/2)⁵ =2 .   [    x² -3x + 2 =0  ]. ответ : a=32   ; b =2.

Опустим из точки s перпендикуляры: sh на сторону bc и sf на сторону cd.  sh - наклонная, as - перпендикуляр, ah - проекция; согласно теореме, обратной теореме о 3 перпендикулярах, если bc перпендикулярно sh, то bc перпендикулярно ah, следовательно, ah - высота. sf - наклонная, as - перпендикуляр, af - проекция; согласно теореме, обратной теореме  о 3 перпендикулярах, если cd перпендикулярно sf, то cd перпендикулярно af, следовательно, af - высота. рассмотрим прямоугольные треугольники saf и sah: 1) as - общая сторона; 2) af=ah - т.к. высоты ромба; следовательно, треугольники равны по 2 катетам. значит, sh=sf, т.е. точка s равноудалена от прямых bc и cd, что и требовалось доказать.