Диагонали ромба равны 30см и 40 см. найдите радиус окружности вписанной в ромб

решение: пусть abcd - данный ромб, аc=30 см, bd=40 см

о - точка персечения диагоналей

 

диагонали ромба(как параллелограмма) в точке пересечения делятся пополам.

значит ao=co=1\2*ac=1\2*30=15 см

bo=do=1\2*bd=1\2*40=20 см

 

диагонали ромба пересекаются под прямым углом

по теореме пифагора

ab=корень(ao^2+bo^2)=корень(15^2+20^2)=25 см

 

полупериметр ромба равен p=2*ав=2*25=50 см

 

площадь ромба равна половине произведения диагоналей

s=1\2*ac*bd=1\2*30*40=600 cм^2

 

площадь ромба равна произведению полуперимтера на радиус вписанной окружности

s=p*r

радиус вписанной в ромб окружности равен

r=s\p=600\50=12 cм

ответ: 12 см

 

Сначала докажем, что если окружность описана около прямоугольного треугольника, то ее центр лежит на гипотенузе. пусть, дан  треугольник авс с прямым углом спусть, точка о-центр описанной окружности.рассмотрим следующие треугольники: вос-равнобедренный,  ∠овс= ∠осв,аос-равнобедренный,  ∠оас= ∠осано сумма углов всо и асо=90°, значит, сумма углов сао + сво=всо +асо=90 °сумма углов выпуклого четырехугольника =360°,значит, аов=360-90-90=180°, то есть развернутый угол кроме того, ов=оа, поскольку о-центр окружности ас = 12 см, вс = 5 см; ав=√(св²+ас²)=√(144+25)=13 см оа=ов=13: 2=7,5 см. . ас = 16 см, ∠в = 30°.ав=16: sin30°=16: 0,5=32 оа=ов=32: 2=16 см

пусть сторона  , тогда  , так как она в 2 раза больше стороны bc по условию . теперь рассмотрим четырехугольник cpkb, который вписан в окружность. как известно, у такого четырехугольника сумма противоположных углов равна 180 градусов, то есть    и  . предположим, что угол  , тогда угол  , теперь, учитывая, что углы    и    смежные, то угол 

lакр=180 град.-lркв

lакр=180 град.-180 град.+а=а

то есть он равен углу  . аналогично и для угла  . из равенства этих двух пар углов следует, что треугольники acb и apk подобны друг другу по двум углам.

для подобных треугольников можно записать следующее соотношение:

ас         св

    =    

ак           кр

откуда:

кр=ак*св

       

        ас

и подставляя числовые значения, имеем:

кр=14*х=14=7

           

          2х     2

ответ: 7