Впрямоугольнике abcd пункт m - середина стороны ab (меньшая сторона), пункт о - пункт пересечения отрезков ас и md. найдите площадь abcd, если площадь треугольника аом равна 62 см^2

сечение через вершину пирамиды и высоту основания. в сечении треугольник, одна сторона - боковое ребро, другая - высота боковой грани (апофема), "нижняя" - высота основания. высота пирамиды является высотой этого треугольника, её основание делит "нижнюю" сторону на части в отношении 1/2, считая от апофемы. угол между апофемой и "нижней" стороной задан - это 45 градусов (плоскость сечения очевидно перпендикулярна боковой стороне, поскольку есть 2 прямые в этой плоскости, перпендикулярные на самом деле даже 3 навскидку - высота пирамиды, высота основания и апофема, но достаточно 2:  

итак. перпендикуляр из основания высоты треугольника на боковую сторону равен корень(6). поэтому расстояние от основания высоты до вершины равно  корень(6)*корень(2) = 2*корень(3). а вся "нижняя" боковая сторона в 3 раза больше. нас интересует так же апофема, она равна   2*корень(3)/(корень(2)/2) = 2*корень(6), это можно было увидеть и без вычислений - прямоугольные треугольники с углом 45 градусов - равнобедренные : )) и гипотенуза всегда равна удвоенной медиане; осталось вычислить сторону основания. в равносторонем треугольнике высота 6*корень(3), значит сторона 12 (поделили на синус 60 градусов).

sбок = 3*12*(2*корень(6))/2 = 36*корень(6);  

это на формулы герона для площади и радиуса вписанной окружности. дело в том, что когда у боковых граней пирамиды одинаковый уогл наклона, то вершина пирамиды проектируется на основание в центр вписанной окружности. показать это легко - проекция будет равноудалена от сторон основания. на расстояние, равное 

r = h*ctg(ф), н - высота пирамиды, ф - двугранный угол при основании.

далее, стороны a = 9, b = 10, c = 17, полупериметр p = 18, сомножители в формуле герона p = 18, p - a = 9, p - b = 8, p - c = 1; площадь основания

(sосн)^2 = 18*9*8*1 = (36)^2; sосн = 36; r =  sосн/p = 2;

раз угол ф = 45 градусов, то r = h = 2;

v =  sосн*h/3 = 36*2/3 = 24;