Найдите угол мав, если треугольник мрн-р/б с основанием мн, прямая ав параллельна стороне мр, а угол н=65 градусов

Т.к. мрн - равнобедренный треугольник, то углы м и н при его основании равны.  < m=< h=65°. углы м треугольника мрн и ван треугольника авн равны как соответственные углы при пересечении двух параллельных по условию прямых мр и ав секущей мн. значит < m=< bah=65° < mab=180-< bah=180-65=115°

обозначаем длину ao за x, получаем два прямоугольных треугольника aob и aod. в котором роль общего катета играет ao, гипотенузы (наклонные) известны, а ob и od могут быть найдены по теореме пифагора:

ob = корень(ab^2 - x^2) = корень(15*15-x*x)

od = корень(ad^2 - x^2) = корень(20*20-x*x)

их отношение известно, то есть можем составить уравнение

корень(15*15-x*x)/корень(20*20-x*x) = 9/16

попробуем преобразовать это уравнение и решить:

(1) возводим в квадрат обе стороны

(15*15-x*x)/(20*20-x*x) = (9*9)/(16*16)

умножаем на (20*20-x*x) и (16*16)

(16*16)*(15*15-x*x) = (9*9)*(20*20-x*x)

раскрываем скобки

16*16*15*15 - 16*16*x*x = 9*9*20*20 - 9*9*x*x

прибавляем к обеим сторонам 16*16*x*x - 9*9*20*20

16*16*15*15 - 9*9*20*20 = 16*16*x*x - 9*9*x*x

или

(16*16 - 9*9)*x*x = 16*16*15*15 - 9*9*20*20

окончательно:

x*x = (16*15 - 9*20)*(16*15 + 9*20)/(16-9)(16+9) = 25*9*16(4-3)*(4+3)/(7*25) = 9*16 = 144

или

x = 12 см - длина ao

основание - равнобедренный треугольник. проведём из его вершины высоту, разделим основу пополам, и получим прямоугольный треугольник со сторонами 5 см(гипотенуза) 4 см(катет) и высотой. по пифагору

h² + 4² = 5²

h² = 9

h = 3 см

площадь основания

s = 1/2*8*h = 4*3 = 12 см²

меньшая диагональ боковой грани - будет построена на стороне основания 5 см.

наклон к плоскости основания в 45° - значит, боковая грань - квадрат, только диагональ квадрата имеет угол с боковой стороной в 45°, и высота призмы тоже h₁ = 5 см

объём призмы

v = s*h₁ = 12*5 = 60 см²