Доведіть, що через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини.

Нехай a і  b дані мимобіжні прямі (на малюнку)   оскільки a і  b не перетинаються, то на прямій а можна знайти точку а що не належить прямій b. проведемо через неї пряму b1 паралельну b. аналогічно   через довільну точку в на прямій b, що не належить a проведемо пряму а1 паралельну а (за теоремою 2.1) за аксіомою с3 можна провести площину альфа через прямі a і  b1 і площину бетта   через прямі a1 і b. 

решаю только из-за 12 и 13 :

гипотенуза относится к катету, имеющему общую вершину с биссектрисой, как 13 к 12. а другой катет имеет длину 25. поскольку это прямоугольный треугольник, то : длины сторон 25, 60 и 65, поэтому площадь 25*60/2 = 750;

 

(кажется, что я перескочил, но это не так. дело в том, что одна из первых пифагоровых троек это 5,12,13 то есть - существует такой прямоугольный треугольник, в котором стороны - целочисленные, 5,12,13. а треугольник в подобен ему - раз пропорции те же, - но в 5 раз больше, раз малый катет 25. вот поэтому я и стал решать : ) хотя конечно можно было бы сказать, что 12/13 это косинус угла, из которого выходит биссектриса, посчитать по косинусу котангенс, который окажется 12/5, вычислить второй катет, умножив известный первый катет, то есть длины 25, на этот котангенс, - получим   60, и взять половину их произведения. имено так и надо делать в общем случае. но в данном случае ответ получается сам собой. причем решение это совершенно строгое. но учителю может не понравится.)

Втреугольнике против большей стороны лежит больший угол. это значит, что искомая высота - высота из вершины в на основание ас. находим площадь треугольника по герону: s=√p(p-a)(p-b)(p-c), где р - полупериметр, a,b,c - стороны треугольника. в нашем случае: s=√[(24*(24-10)(24-17)(24-21)]=√24*14*7*3)=84см² площадь треугольника равна половине произведения высоты и основания, на которое она опущена. отсюда h=2s/a, где в - основание. в нашем случае высота равна h=2*84/21=8см. ответ: высота из вершины наибольшего угла равна 8см.