Сторона cd параллелограмма abcd вдвое больше стороны bc. точка f - середина стороны cd. докажите, что bf - биссектриса угла abc.

Рассмотрим треугольник bcf.  т.к. по условию cf=cd/2=bc, то этот треугольник равнобедренный и < cbf=< bfc = (180  - < c)/2 в параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180. значит угол abc= 180 - < a = 180 -< c, а  < abf= < abc - < cbf = (180 -< c) - (180  - < c)/2 =  180- < c)/2, т.е. < cbf = < abf, т.е. bf - биссектриса < abc 

Площади треугольников, имеющих равные углы, относятся также, как и произведения сторон, заключающих равный угол: smbk/sabc = 2•3/4•5 = 6/20 = 3/10 10smbk = 3abc smbk = 0,3sabc известно, что sabc = smbk + 7√15/4 sabc = 0,3sabc + 7√15/4 0,7sabc = 7√15/4 sabc = 7√15/4 : 0,7 sabc = 5√15/2 по теореме о площади треугольника: sabc = 1/2ab•bc•sinabc, откуда sinabc = 2sabc/(ab•bc) sinabc = 5√15/(4•5) = √15/4 по основному тригонометрическому тождеству: cosabc = √1 - sinabc² = √1 - 15/16 = 1/4 по теореме косинусов: mk² = mb² + bk² - 2mb•bk•cosabc mk² = 2² + 3² - 2•2•3•1/4 = 4 + 9 - 3 = 10 mk = √10. ответ: mk = √10.

Сторона правильного n-угольника равна a = 2rsin(180°/n), откуда r = a/2sin(180°/n) радиус вписанной окружности равен r = rcos(180°/n), откуда r = r/cos(180°/n). приравняем эти два равенства: a/2sin(180°/n) = r/cos(180°/n) 10/2sin(180°/n) = √3/(cos/180°/n) 5/sin(180°/n) = 5√3(cos180°/n) 5sin(180°/n) = 5√3cos(180°/n) sin(180°/n) = √3cos(180°/n) это равенства выполняется тогда, когда cosa = 1/2, sina = √3/2. тогда угол правильного многоугольника равен 60° => данный многоугольник - треугольник. центральный угол будет равен 1/3•360° = 120° (т.к. отрезки, соединяющие центр описанной окружности с вершинами, будут равны и образовывать равные между собой углы). радиус описанной окружности тогда равен r = 10/2•√3/2 = 10√3 см. ответ: r = 10√3 см, центральный угол = 120°.