Впрямоугольном треугольнике катет= 12 cм, противолежащий ему угол=60 градусов. найдите длину высоты опущенной на гипотенузу.

Тогда другой острый угол треуг-ка будет 90 - 60 =30
Рассмотрим треуг-к, образованный опущенной высотой, частью гипотенузы и заданным катетом. В этом треуг-ке заданный катет является гипотенузой, а высота лежит против угла 30 градусов. Значит, она в 2 раза меньше гипотенузы.
Высота = 12/2 =6 см

Объяснение:

Значения разных тригонометрических функций для одного угла связаны между собой основными тригонометрическими тождествами:

Зная значение одной тригонометрической функции угла, можно найти все остальные.

 

Задача 1. Найти неизвестные тригонометрические функции угла, если:

Решение

Можно, конечно, найти угол, зная, что угол лежит в интервале от  до , а его косинус равен  (см. рис. 16).

Рис. 16. Иллюстрация к задаче 1

Зная определение тригонометрической функции (косинус – абсцисса соответствующей точки на окружности) (см. рис. 17), несложно получить, что:

Т. е. .

Рис. 17. Иллюстрация к задаче 1

Но мы рассмотрим общий ведь нам не обязательно «повезет» с табличным значением тригонометрической функции.

Чтобы найти синус, зная, косинус, воспользуемся тождеством, которое их связывает, а именно:

Выразим из него синус:

По заданным величинам находим углы треугольника.

C = arc sin(20/25) = arc sin(4/5) = 53,1301 градуса .

B = arc cos (7/25) = 73,7398 градуса.

Угол А = 180 - В - С = 53,1301 градуса .

Значит, треугольник - равнобедренный: АВ = ВС = 25.

Тогда АС = 2√(25² - 20²) = 2√(625 - 400) = 30.

Находим ДН из условия подобия треугольников НДС и АВД и равенства взаимно перпендикулярных углов НСД и АВД.

ДН/ДС - АД/ВД. Здесь точка Н - точка пересечения высот.

ДН = 15*15/20 = 11,25.

Используя формулу деления высот точкой их пересечения

ВН/НД = cos B/(cos A*cosC), находим отрезки.

Отрезки на сторонах. отсекаемые высотами        

       

АС₂ = 18 С₂B = 7 AB = 25  25

       

BA₂ = 7 A₂C = 18 BC = 25  25

       

АB₂ = #ДЕЛ/0! B₂C = #ДЕЛ/0! AC = #ДЕЛ/0!  30

Точка В2 это точка Д, она делит АС пополам,АД = 30/2 = 15.

Далее удобнее решать в прямоугольной системе координат,

Пусть А(0; 0), В(15; 20), С(30; 0).

Находим координаты точки Е из подобия АЕ к АВ = 18/25.

х(В) = 15*(18/25) = 54/5 = 10,8.

у(В) = 20*(18/25) = 72/5 = 14,4.  Точка E(10,8; 14,4), точка Д(15; 0).

Находим координаты центра Р окружности на ДЕ.

Р = (10,8+15)/2; (14,4+0)/2) = (12,9; 7,2).

Радиус окружности равен РЕ = √(15-12,9)² + (0-7,2)²) = 7,5.

Уравнение окружности (x-12,9)² + (y-7,2)² = 7,5².

Уравнение прямой АВ по угловому коэффициенту: у = (20/15)х или у = (4/3)х.

Находим координаты точки F как точки пересечения АВ с окружностью, решая систему:

{ у = (4/3)х.

{ (x-12,9)² + (y-7,2)² = 7,5². После подстановки у= (4/3)х во второе уравнение находим х = 27/5 = 5,4, а у = 36/5 = 7,2.

Второй корень повторяет координаты точки Е(10,8; 14,4).

Координаты точки G находим аналогично, толь как точку пересечения с осью Ох в виде уравнения у = 0.

G(10.8; 0). Второй корень повторяет координаты точки D(15; 0).

Уравнение прямой АН: у = (11,25/15)х.

Уравнение GF. Вектор GF = (5,4; -7,2).

Уравнение GF:( (x - 10,8)/5,4) = y/(-7,2).

Координаты точки К находим как точку пересечения прямых АН и GF, решая систему:

{ у = (11,25/15)х.

{ ( (x - 10,8)/5,4) = y/(-7,2).  

Решение даёт значение х(К) = 6,912, у(К) = 5,184.

Длина АК = √(6,912² + 5,184²) = 8,64.

ответ: АК = 8,64.