Найдите объем правильной пирамиды, если известно, что площадь ее основания равна 45 см2, а высота 11 см.

45 • 11= 495 (см.кв)

1.

М - середина АВ, значит МВ = АВ/2

Р - середина МВ, значит РВ = МВ/2 = АВ/4

К - середина ВС, значит КС = ВС/2

Е - середина КС, значит ЕС = КС/2 = ВС/4

N - середина АС, значит NA = АС/2

G - середина NA, значит GA = NA/2 = AC/4

По условию

PB + EC + GA = 12

АВ/4 + ВС/4 + АС/4 = 12

1/4 · (АВ + ВС + АС) = 12

АВ + ВС + АС = 12 · 4 = 48 (см)

2.

Из решения первой задачи следует, что

АР = 3/4 АВ

ВЕ = 3/4 ВС

CG = 3/4 AC

По условию

AP + BE + CG = 108

3/4 АВ + 3/4 ВС + 3/4 АС = 108

3/4 · (АВ + ВС + АС) = 108

АВ + ВС + АС = 108 · 4/3 = 144 (см)

Раз  точка М проецируется в центр правильного треугольника, Пирамида МАВС правильная и ее ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом 45°.
Прямоугольный треугольник МОС - равнобедренный, так как острый угол МСО равен 45° (дано). Следовательно, катеты равны и ОС=МО=10.
Заметим, что АО=ВО=СО=10.
В правильном треугольнике АВС СО=АО - это 2/3 его высоты, а ОН (расстояние от центра О до стороны ВС равно 1/3 его высоты (так как высота = медиана и точкой О делится в отношении 2:1, считая от вершины. Значит ОН=ОС:2=5.  В прямоугольном треугольнике МОН, где гипотенуза МН - искомое расстояние, по Пифагору найдем МН=√(МО²+ОН²) или МН=√(100+25) = 5√5.
ответ: МН=5√5.