Даны окружности w1(; 7) и w2( ; 3); o1o2=20. найдите расстояние между точкой пересечения их общих внутренних касательных и точкой пересечения их общих внешник касательных

и внутренние и внешние касательные пересекутся в точках расположеных на прямой, проходящей через о1 и о2, исходя из полной симметрии относительно этой прямой.

пусть в1в2 - внешняя касательная (пересекает ось симметрии в точке а2 за меньшей окружностью)

с1с2 - внутренняя касательная ( пересекает ось симметрии в точке а1 между окружностями.

а1а2 = ?

а1а2 состоит из двух отрезков: а1о2 = х   и   о2а2 = у.

тр.о1с1а1   подобен тр. о2с2а1 (прямоугольные и одна пара равных углов).

составим пропорцию:

а1о2 / а1о1   =   3/7   или:

х/(20-х) = 3/7     7х = 60 - 3х       х = 6.

тр. а2в2о2 подобен тр. а2в1о1 (аналогично предыд. паре)

составим пропорцию:

а2о2 / а2о1 = 3/7   или:

у/(20+у) = 3/7   7у = 60 + 3у     у = 15.

в итоге а1а2 = х + у = 21

ответ: 21. 

Ав=вс, ав - диаметр окружности.  окружность пересекает стороны ас и вс в точках м и н соответственно. вн=7 см, мс=3 см. построим отрезки вм и ан, которые пересекаются в точке к.   ∠вма=∠вна=90° так как они вписанные в окружность и опираются на дугу в 180°.  в равнобедренном тр-ке авс вм⊥ас, значит ам=мс  ⇒ ас=2мс=6 см. тр-ки анс и вмс подобны т.к.  ∠с - общий и оба прямоугольные. пусть нс=х, вс=вн+нс=7+х. вс/мс=ас/нс, (7+х)/3=6/х, 7х+х²=18, х²+7х-18=0, х> 0, значит х≠-9, х=2. нс=2 см, ав=вс=7+2=9 см - это ответ.

Параллельно прямой ак проведём прямую см к стороне ад. см пересекает вд в точке е. треугольники авк и cдм равны т.к. ав=сд, вк=дм и  ∠в=∠д. в них  ∠авр=∠сде, значит вр=де.  пусть одна часть в заданном отношении равна х, тогда вр=де=2х, рд=3х,  ре=рд-де=3х-2х=х. в тр-ке все рк║се, вр: ре=2: 1, значит вк: ск=2: 1 - это ответ 1. параллельно сторонам ад и вс через точку р проведём отрезок но. параллельно сторонам ав и сд к прямой но проведём отрезок кт. нвкт - параллелограмм. его площадь равна двум площадям треугольника bpк т.к. у них одинаковая высота к стороне вк. s(нbкт)=2s(bрк)=2. площадь параллелограмма тксо равна половине нвкт т.к. кс=вк/2. s(tkсо)=2/2=1. анод - параллелограмм. соответственно его площадь равна удвоенной площади тр-ка ард. тр-ки bpк и ард подобны по трём углам, значит их коэффициент подобия k=вр: рд=2: 3, а коэффициент подобия площадей k²=4/9. s(ард)=s(bрк)/k²=9/4. s(анод)=2·9/4=4.5, площадь исходного параллелограмма авсд равна сумме площадей найденных параллелограммов нвкт, тксо и анод. s(авсд)=2+1+4.5=7.5 - это ответ 2.