Вычислите косинус угла м треугольника мрк, если м(3; 9), р(0; 6), к(4; 2

Длина стороны МР = √((9 - 6)² + (3 - 0)²) = √(9 + 9) = 3√2
Длина стороны РК = √((6 - 2)² + (4 - 0)²) = √(16 + 16) = 4√2
Длина стороны МК = √((9 - 2)² + (4 - 3)²) = √(49 + 1) = 5√2
РК² = МР² + МК² - 2·МР·МК·сos М
32 = 18 + 50 - 2· 3√2 · 5·√2 ·cos М
32 = 68 - 60 cos M
32 - 68 = - 60 cos M
cos M = 36/60 = 6/10 = 0,6
ответ: cos M = 0,6

По первому признаку подобия треугольников имеем, что данные равнобедр.треуг. подобны. Коэффициент их подобия равен как отношению соотв.сторон, так и отношению периметров. Найдем боковые стороны первого треугольника. Высота к основанию является также медианой, значит по теореме Пифагора боковая сторона равна кореньиз(64+36)=10. Периметр первого треугольника равен 10+10+16=36. Коэффициент подобия k=54/36=3/2=1,5. Значит боковые стороны второго равнобедр.треугольника равны 10*1,5=15 см, а основание равно 16*1,5=24 см.

В треугольнике: катеты а и b, гипотенуза  с, прямой угол С,
R - радиус описанной окружности, r- радиус вписанной окружности.
Начнём с описанной окружности. Поскольку  угол С прямой, то этот угол опирается на диаметр окружности, т.е. диаметр окружности есть его гипотенуза, и. с = 2R
Теперь вписанная окружность. Опустим из её центра на катеты перпендикуляры, эти перпендикуляры равны r- радиусу вписанной окружности. Два взаимно перпендикулярных радиуса r и отрезки катетов, прилежащих к вершине прямого угла С, образуют квадрат со стороной r.
Тогда отрезки катетов, прилегающих к вершинам острых углов, равны
 (а - r) и (b - r).
Третий перпендикуляр, опущенный из центра окружности на гипотенузу делит её на отрезки, равные (а - r) и (b - r).
Получается, что гипотенуза равна c = a - r + b - r = a + b - 2r.
Но ранее мы получили, что с = 2R
Тогда 2R = a + b - 2r
2R + 2r = a + b
R + r = 0.5(a + b) что и требовалось доказать.