Основание прямого параллелепипеда abcda1b1c1d1 - прямоугольник abcd, площадь которого 40 см^2. вычислите площадь сечения параллелепипеда плоскостью adb1, е сли известно, что она образует с плоскостью основания угол 60○.

У прямоугольника АВСД стороны равны АВ=СД=а и ВС=АД =в, значит площадь его ав=40
Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях. В ΔАДВ₁ опустим перпендикуляр В₁Н на сторону АД, а в основании проведем перпендикуляр НМ (он будет равен и параллелен сторонам прямоугольника АВ и СД: НМ=АВ=СД=а). Полученный угол В₁НМ=60° по условию.
Из прямоугольного ΔВ₁НМ найдем В₁Н=НМ/cos 60=а/1/2=2а.
Площадь ΔАДВ₁ S=В₁Н*АД/2=2а*в/2=ав=40.
ответ: 40

Прямокутник АВСД, діагоналі АС та ВД перетинаються в т. О.
ОН - відстань від т. О до більшої сторони прямокутника ВС (отже ОН - висота трикутника ВСО)
ОМ - відстань від т. О до більшої сторони прямокутника АД (отже ОМ - висота трикутника АДО)
ОР - відстань від т. О до меншої сторони прямокутника АВ (отже ОР - висота трикутника АВО)
ОК - відстань від т. О до меншої сторони прямокутника СД (отже ОК - висота трикутника СДО)
Оскільки  Діагоналі прямокутника мають однакову довжину, а також  в точці перетину діляться навпіл, значить трикутник ВСО=трикутнику АДО та трикутник АВО=трикутнику СДО.
А це означає, що і висоти у попарно рівних трикутниках між собою рівні, а саме
ОК=ОР, а ОН=ОМ.
Виходить, що  ОН=ОМ=4 см та ОК=ОР=9 см (по умові задачі сказано, що точка перетину його діагоналей віддалена від його сторін на 4 см і на 9 см).

У прямокутника протилежні сторони рівні.
АВ=СД=ОН+ОМ=4+4=8 см
ВС=АД=ОР+ОК=9+9=18  см
Периметр = сумі довжин усіх сторін прямокутника
Периметр = АВ+ВС+СД+АД
Отже
Периметр = 8+18+8+18=52 см

Відповідь: периметр прямокутника=52 см

Тут два варианта расположения точки Р и, соответственно, два варианта решения задачи:
1). Точка Р расположена на прямой АВ за точкой В и АР=АВ+ВР=20+30=50 см, тогда расстояние между серединами отрезков АР и ВР будет равно (АР-ВР)/2=(50-30)/2=10 см.
2). Точка Р расположена на прямой АВ за точкой А и отрезки АВ и ВР частично накладываются друг на друга, АР=ВР-АВ=30-20=10 см, тогда то же расстояние будет равно (ВР-АР)/2=(30-10)/2=10 см.
ответ: независимо от расположения точки Р расстояние между отрезками АР и ВР будет 10 см.