Всистеме координат даны точки а(-3; -5), в(2; 2) и с(5; -7 а) найдите координаты проекции точки а на прямую вс. б) на прямой ав найдите такую точку м, что |см * ав| = 122. (в пункте б см, ав - векторы)).

а) находим уравнение прямой вс:

у = кх+b      подставим сюда координаты точек в и с, составим систему и найдем k и b:

5k + b = -7                                 b=-7-5k = 8

2k+ b = 2                   3k = -9   k = -3                    

получили уравнение: у = -3x + 8

опускаем перпендикуляр из а на вс, получим точку к -проекция а на вс.

прямая ак имеет угловой коэффициент: -1/k = 1/3

значит ее уравнение имеет вид:

у = x/3  +b. подставим координаты точки а:

-1 + b = -5              b = -4    уравнение ак: у = х/3  - 4

ищем координаты точки пересечения ак и вс: (это и есть искомая проекция)

-3х+8 = х/3  - 4    10х/3 = 12    х = 3,6    у = -10,8 + 8 = -2,8.

ответ: (3,6; -2,8).

б) вектор ав: (2+3; 2+5): (5; 7)  пусть м(х; у).

тогда вектор см: ((х-5); (у+7))

скалярное произведение (см*ав) = 5(х-5) + 7(у+7) = 122

с другой стороны точка м принадлежит ав. найдем уравнение ав:

у = kx+b

-3k+b=-5                        b = -5+3k = -4/5

2k+b=2                        5k=7      k = 7/5

уранение ав: у = 7х/5  - 4/5 - вот и еще уравнение для нахождения координат точки м. получили систему:

5(х-5) + 7(у+7) = 122                    5х + 7у = 98 |*5         25х + 35у = 490

у = 7х/5  - 4/5                                      5у - 7х = -4  |*(-7)       49х - 35у = 28

 

74х = 518    x = 7      7у = 98 - 35 = 63     у = 9

ответ: м(7; 9).

№1h =   a  ⇒ a =  h  радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону r =  a =   h  №2высоты, медианы, биссектрисы правильного треугольника: h = m = l =  a  ⇒ a =  h  =  m  =  l радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону r =  a =  h =    m =    l a) высота равна: 1) 30 см ;   r =    h = 10 см 2) 4,2 м  ;   r =    h = 1,4 (м) 3) 5 см  ;   r =    h = 1  (см) 4) 3,6 см  ;   r =    h = 1,2 (см) 5) 11,1 см  ;   r =    h = 3,7 (см) б) медиана равна: 1) 21 см;   r =    m = 7 (см)    2) 0,9 мм; r =    m = 0,3 (мм)      3) 7 дм; r  =    m = 2   (дм)          4) 5,4 см; r  =    m = 1,8 (см)          5) 37,2 см; r  =    m = 12,4 (см)          в) биссектриса равна: 1) 54 мм  ; r  =    l = 18 (мм)      2) 8 м;   r  =    l = 2   (м)            3) 72 см;     r  =    l =  24 (см) 4) 9,6 см;     r  =    l =  3,2 (см)

Первая легко. значит основание сорстоит из отрезков 9 и 5, потому что средняя линия в каждом прямоугольном треугольнике равна попловине основания по теоереме пифагора из одного прямоугольного треугольника бокова сторона √9²+12²=15, другая боковая сторона √5²+12²=13 периметр 15+13+(9+5)=42 два прямоугольных треугольника подобны  аок и вок. к - основание высоты проведенной из о на сторону ав. из подобия 18: ок=ок: 32. тогда ок²=18·32, ок=24 тангес угла аво равен отношению противолежащего катета ок к гипотенузе кв. ответ 24/18 или сократим на 6 ответ 4/3 3 . второй катет равен  катету b, деленному на tgβ так как проведена биссектриса, то в маленьком прямоугольном треугольнике половина угла β, т.е угол β/2. косинус угла β/2 равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. а гипотенуза маленького треугольника и есть биссектриса. ответ  b·cos (β/2) / tgβ