Отрезок dm - биссектриса треугольника cde. через точку м проведена прямая, параллельная стороне сd и пересекающая сторону dе в точке n. найдите углы треугольника dмn, если

< cdm=< mde = 68: 2=34

< cdm = < nmd=34 - накрестлежащие при nm||cd , dm - секущая

< dnm = 180-34-34=112

Окружность с центром о₁ касается прямой в точке а,    радиус окружности о₁а=о₁к. окружность с центром о₂ касается прямой в точке в,    радиус окружности о₂в=о₂к. через точку к проведем общую касательную к 2 окружностям, которая пересекает ав в точке е. а)  если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. значит ае=ек и ве=ек, тогда ае=ве.получается, что  ек - медиана δавк и ек=ав/2, значит  δавк прямоугольный (угол акв - прямой)  следовательно, прямые вд и ас пересекаются под прямым углом, значит вписанные  < акд=< вкс=90°. а т.к. вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он  опирается на диаметр, то значит ад и вс - это диаметры окружностей. касательная  перпендикулярна к радиусу  окружности,  проведённому в точку касания, тогда ад ⊥ав, вс⊥ав. значит ад  || вс ( две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны), ч.т.д.  б)   по условию  радиус окружности о₁а=о₁к=1, а  радиус окружности о₂в=о₂к=4. диаметры ад=2, вс=8 прямоугольные  δакд и  δскв подобны по острому углу (< дак=< вск как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ад и вс секущей ас). значит ак/кс=дк/кв=ад/вс=2/8=1/4 из прямоугольного  δдав, в котором ак - высота из прямого угла на гипотенузу вд: ак²=дк*кв=дк*4дк=4дк² ак=2дк из прямоугольного  δдак: ад²=дк²+ак²=дк²+4дк²=5дк² дк=ад/√5=2/√5 ак=4/√5 кс=4ак=16/√5 площадь sдак=ак*дк/2=4/√5 * 2/√5 / 2=4/5 у  δдак и  δдас одинаковые высоты из вершины, значит их площади  sдак/sдас=ак/ас=4/√5 / 20/√5=1/5 sдас=5sдак=5*4/5=4 sдкс=sдас-sдак=4-4/5=16/5=3,2 ответ: 3,2

Окружность с центром о₁ касается стороны   угла ав в точке е,    радиус окружности о₁е=о₁к=39. окружность с центром о₂ касается стороны   угла ав в точке д,    радиус окружности о₂д=о₂к=42. т.к. касательная  перпендикулярна к радиусу  окружности,  проведённому в точку касания, то о₁е  ⊥ае, о₂д⊥ад, о₁к⊥вс и о₂к ⊥вс.рассмотрим  δо₁ев иδо₁кв они равны по трем сторонам (о₁е=о₁к как радиусы, ев=кв как отрезки касательных из одной точки, о₁в - общая). значит  < ево₁=< кво₁, тогда о₁в - биссектриса  < евк. аналогично доказывается, что о₂в - биссектриса  < двк < евк.и  < двк - смежные, а  биссектрисы  смежных  углов, пересекаются  под прямым  углом, значит  < о₁во₂=90°. в прямоугольном  δо₁во₂ вк является высотой, опущенной из прямого угла на гипотенузу: вк=√о₁к*о₂к=√39*42=√1638=3√182 δавс - равнобедренный (ав=ас):     ак является высотой, медианой и биссектрисой. основание вс=2вк=6√182 получается, что окружность с центром о₁ вписана в  δавс. формула радиуса вписанной окружности  в равнобедренный треугольнико₁к=вс/2*√(2ав-вс)/(2ав+вс) подставляем данные: 39=6√182/2 *  √(2ав-6√182)/(2ав+6√182) (2ав-6√182)/(2ав+6√182)=(13/√182)² 182(2ав-6√182)=169(2ав+6√182) 26ав=2106√182 ав=81√182 ак=√(ав²-вк²)=√((81√182)²-(3√182)²)=√78*84*182=1092 площадь  δавс: sавс=ак*вс/2=ак*вк=1092*3√182=3276√182 радиус описанной окружности r=ав²*вс/4sавс=(81√182)²*6√182 / 4*3276√182=2187/4=546,75 ответ: 546,75