Впрямоугольном треугольнике авс угол с=90, угол а=30, ас=10 см, cd-высота, проведенная к стороне ав, de-перпендикуляр, проведенный из точки d к стороне ас.чему равна длина ае?

AB=10/sqrt3/2=20/sqrt3=20sqrt3/3 (по свойству стороны напротив угла 60° ).
CB=10sqrt3/3 (по свойству стороны напротив угла в 30°).
CD^2=(10sqrt3/3)^2-(5sqrt3/3)^2=300/9-75/9=25 (по теореме Пифагора)
CD=5 cm AD^2=AC^2-CD^2=100-25=75 cm (по теореме Пифагора)
AD=sqrt75=5sqrt3 Тогда AE=AD*sqrt3/2=5sqrt3*(sqrt3/2)=15/2=7.5 см
(по свойству стороны напротив угла в  60°).

1) Сумма углов в треугольнике равна 180°. Отсюда сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90. Обозначим меньший угол за х, тогда больший угол равен 8х.
Составим уравнение: х+8х=90.
х=10°. Значит меньший угол = 10°, больший = 80°

2) Обозначим острый угол, из которого опущена биссектриса, за х. Тогда этот угол разделяется биссектрисой на два равных угла х/2.
Прямой угол биссектрисой делится на 2 угла по 45°. 
Сумма углов в полученном треугольнике: 45+132+х/2=180
х/2=3
х=6°

Тогда третий угол в треугольнике равен 180-90-6=84°

3) Угол 60° биссектрисой разделится на 2 угла 30°
Катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы: 18/2=9

4) В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основание - гипотенуза, значит острые углы равны 45°
Из этого следует равенство по двум углам и стороне между ними

Соединим точки М и L , лежащие в одной плоскости ABCD . ML  пересекается с ВС в точке N .

Продлим ML  до пересечения с АВ , получим точку Т .

Теперь соединим точку Т и точку К , так как они лежат в одной плоскости АА1В1В .  Продлим КТ до пересечения с АА1  в точке  Р .

Соединим точки Р и М , так как они лежат в одной плоскости  AA1D1D .

Получили сечение  МNKP . Это трапеция, так как МР || KN  в силу того, что если две параллельные плоскости ( АА1D1D и BB1C1C ) пересечены третьей  ( MNKP ), то линии их пересечения параллельны.