Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза делится биссектрисой прямого угла на отрезки 15 и 20 см.

Пусть треугольник АВС, угол В прямой, точка на гипотенузе Д - точка пересечения биссектрисы с гипотенузой.
АД=20, ДС=15. По теореме синусов АД/sin45=АВ/sinВДА, ДС/sin45=ВС/sinВДС
АД/ДС=АВ/ВС*(sinВДС/sinВДА)=AB/BC*(sin(180-ВДА)/sinBDA)=AB/BC(sinBDA/sinBDA)=AB/BC=20/15=4/3
AB^2+BC^2=(20+15)^2=1225
AB^2+9/16AB^2=1225
25/16AB^2=1225
AB=35/(5/4)=28, BC=21
S=1/2 AB*BC=1/2 *28*21=294 кв. см

Відповідь:  60°.

Пояснення:Дано: коло з центром в точці О. AM i АК - дотичні (А поза колом).

М і К - точки дотику. ОА - перетинає коло в точці N. N - середина ОА.

Знайти: ∟MAK.

Розв'язання:

Виконаємо додаткові побудови: ОМ i ОК - радіуси.

За властивістю дотичних до кола маємо:

ОМ ┴ МА; ОК ┴ АК та МА = АК.

Розглянемо ∆ОМА та ∆ОКА - прямокутні.

ОА - спільна сторона; ОМ = ОК - радіуси.

За ознакою piвностi прямокутних трикутників маємо: ∆ОМА = ∆ОКА,

звідси маємо: ∟MAO = ∟KAO.

За аксіомою вимірювання кутів маємо ∟MAK = ∟MAO + ∟KAO = 2∟MAO.

Розглянемо ∆ОМА - прямокутний.

∟OMA = 90°; ОМ = ON = R; N - середина ОА; якщо ON = NA i ON = R, тоді ОА = 2R.

За властивістю катета, який лежить навпроти кута 30°, маємо, якщо ОМ = R

та ОА = 2R, тоді ∟MAO = 30°. Звідси маємо ∟MAK = 30° • 2 = 60°.

Biдповідь: 60°.

ответ: Пусть дан четырехугольник ABCD, вписанный в окружность. Если x — коэффициент пропорциональности, тогда ∠A = 2 * x, ∠B = 6 * x, ∠C = 7 * x.

1. В окружность можно вписать только такой четырехугольник, у которого суммы противолежащих сторон попарно равны, то есть в данном по условию четырехугольнике ABCD должно выполняться равенство:

∠A + ∠C = ∠B + ∠D.

Известно, что сумма всех углов четырехугольника равна 360°, тогда:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.

Подставим данные по условию значения в оба выражения:

2 * x + 7 * x = 6 * x + ∠D;

2 * x + 6 * x + 7 * x + ∠D = 360°.

Мы получили системы линейных уравнений с двумя переменными.

Приведем подобные слагаемые в первом уравнении и выразим ∠D:

2 * x + 7 * x - 6 * x = ∠D;

∠D = 3 * x.

Приведем подобные слагаемые во втором уравнении и выразим ∠D:

∠D = 360° - 2 * x - 6 * x - 7 * x;

∠D = 360° - 15 * x.

Приравняем оба выражения:

3 * x = 360° - 15 * x;

3 * x + 15 * x = 360°;

18 * x = 360°;

x = 360°/18;

x = 20°.

2. Найдем градусные меры углов:

∠A = 2 * x = 2 * 20° = 40°.

∠B = 6 * x = 6 * 20° = 120°.

∠C = 7 * x = 7 * 20° = 140°.

∠D = 3 * x = 3 * 20° = 60°.