Около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса 2, 5 см. найдите периметр и площадь этого треугольника, если его катеты относятся как 3: 4

Во вписанном прямоугольном треугольнике, центр окружности совпадает с серединой гипотенузы. Т.е из рисунка гипотенуза равна 5, т.к. радиус=2.5. 
Т. к катеты относятся как 3 к 4 , то можно обозначить АВ=4*х,   АС=3*х. Тогда по теореме пифагора имеем:
 BC²=AC²+AB² подставим и решим
 5=√((4*x)²+(3*x)²)
 Х=1
АВ=4*1=4
АС=3*1=3
Периметр равен: 5+4+3=12
Площадь равна половине произведения катетов т.е
S=(4*3)/2=6

ответ: АН=35см; СН=5см

Объяснение: обозначим данные вершины А В С, а расстояние от точки до плоскости ВН. Так как расстоянием от точки к плоскости является перпендикуляр, то ВН перпендикулярно плоскости. У нас получился треугольник АВС с высотой ВН. ВН делит ∆АВС на 2 прямоугольных треугольника АВН и СВН, в которых наклонные АВ и ВС - гипотенуза, а ВН и АН и СН- катеты, причём АН и СН являются проэкция и на плоскость, найдём их по теореме Пифагора: АН²=АВ²-ВН²=37²-12²=

=1369-144=1225; АН=√1225=35см

СН ²=АВ²-ВН²=13²-12²=169-144=25;

СН=√25=5см

Т.к. центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис, а центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров, а медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является и биссектрисой, и высотой, а серединный перпендикуляр совпадет с данной медианой, то и центр описанной окружности, и центр вписанной окружности будут лежать на одном отрезке - медиане равнобедренного (или равностороннего треугольника, который является частным случаем равнобедренного треугольника).