20 . в прямоугольнике диагонали пересекаются под углом 60°, а сумма диагонали и меньшей стороны равна 24. найдите меньшую сторону прямоугольника.

Диагонали в прямоугольнике равны, а точка их пересечения делит их пополам. Угол пересечения диагоналей лежащий против меньшей стороны = 60, Поэтому треугольник образуемый диагоналями и меньшей стороной - равносторонний 
Его периметр равен =24
Тогда меньшая сторона = 24/3=8
ответ: 8. 

Дано:

ΔАВС

окр. (О; ОС)

дуга ВС : дуга АС : дуга АВ = 3 : 7 : 8

ВС = 20

Найти: ОС.

Пусть k - одна часть, тогда дуга ВС = 3k, дуга АС = 7k, дуга АВ = 8k. Т.к. в окружности 360°, то составим и решим уравнение:

3k + 7k + 8k = 360;  

18k = 360;

k = 20.

Найдем дугу ВС: дуга ВС = 3 * 20 = 60°.

∠ВОС - центральный, опирается на дугу ВС, значит ∠ВОС = 60°.

ΔВОС - равнобедренный, т.к. ОВ = ОС (радиусы), по свойству углов в равнобедренном треугольнике ∠ОВС = ∠ОСВ =  (180° - ∠ВОС) : 2 = (180° - 60°) : 2 = 60°.

Следовательно, ΔВОС - равносторонний и ОС = ОВ = ВС = 20.

ответ: 20.

Объяснение:

В треугольнике ABC проведем медианы AM, BN, CR. Пусть О - точка пересечения медиан, и K - середина OC. Тогда треугольник OMK подобен треугольнику, составленному из медиан с коффициентом 1/3. Действительно,
OM=AM/3,
MK=OB/2=(2BN/3)/2=BN/3,
OK=OC/2=(2CR/3)/2=CR/3.
Здесь использовано то, что О делит медианы в отношении 2:1 считая от вершины, из которой проведена медиана. Таким образом,


Здесь h - высота треугольника ABC из вершины  А, h/3 - высота треугольника OMC из вершины О (т.к. OM=AM/3). Итак, . Т.к. стороны треугольника OMK равны трети длин медиан, то площадь треугольника, составленного из медиан в 9 раз больше площади треугольника OMK, т.е. она равна Поэтому искомое отношение площади треугольника ABC, к площади треугольника, составленного из его медиан равно 4/3.