Для между двумя параллельными плоскостями альфа и бета проведены отрезки ac и bd(a и b лежат в плоскости альфа ac=13см, bd=15см. сумма длин проэкций ac и bdна одну из данных плоскостей равна 14см.найдите длины этих проэкций и расстояние между плоскостями.

А и В лежат в плоскости α, С и Д лежат в плоскости β.
Из А  и В на плоскость β опустим перпендикуляры АО и ВН (это и будет расстояние между плоскостями). АО=ВН (плоскости α и β параллельны).
Проекция АС на плоскость β это ОС, а проекция ВД на плоскость β - это НД.
ОС+НД=14
ОС=14-НД
Из прямоугольного ΔАОС найдем АО:
АО²=АС²-ОС²=13²-(14-НД)²=-27+28НД-НД²
Из прямоугольного ΔВНД найдем ВН:
ВН²=ВД²-НД²=15²-НД²=225-НД²
-27+28НД-НД²=225-НД²
НД=252/28=9
ОС=14-9=5
ВН²=225-81=144, ВН=12
ответ:9, 5 и 12

Обозначим неизвестные:
- расстояние между плоскостями - х,
- одну из проекций -  у.
Тогда вторая проекция равна 14 - у.
Составим систему уравнений:
х² + у² = 13²
х² + (14 - у)² = 15².
Раскроем скобки во втором уравнении, в первом поменяем знаки и сложим их:
-х² - у² = -169
х² + 196 - 28у + у² = 225
       196 - 28у = 225 - 169
        28у = 140
             у = 140 / 28 = 5 см         - проекция АС
              14 - у = 14 - 5 = 9 см     - проекция ВД
       
х = √(13² - у²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см - расстояние между плоскостями.

Построим ромб, нормаль ОК, и отрезки КА, КВ, КС, КД.

Рассмотрим прямоугольный ΔКОД. В нем известен катет ОК=8см, катет ОД=ВД/2=3 см (по свойствам диагоналей ромба, точкой пересечения они делятся пополам). Найдем гипотенузу КД=√(64+9)=√73 см.

КД=КВ=√73 см.

Рассмотрим прямоугольный ΔАОД (диагонали ромба пересекаются под прямым углом). В нем известен катет ОД=3 см, гипотенуза АД=5 см. Найдем катет АО=√(25-9)=√16 =4см.

АО в свою очередь является катетом в прямоугольном ΔАОК, где известен второй катет КО=8 см. Найдем гипотенузу КА=√(64+16)=√80

4√5 см.

КА=КС=4√5 см.

ответ: расстояния от точки К до вершин ромба КД=КВ=√73 см, КА=КС=4√5 см.

Построим ромб, нормаль ОК, и отрезки КА, КВ, КС, КД.

Рассмотрим прямоугольный ΔКОД. В нем известен катет ОК=8см, катет ОД=ВД/2=3 см (по свойствам диагоналей ромба, точкой пересечения они делятся пополам). Найдем гипотенузу КД=√(64+9)=√73 см.

КД=КВ=√73 см.

Рассмотрим прямоугольный ΔАОД (диагонали ромба пересекаются под прямым углом). В нем известен катет ОД=3 см, гипотенуза АД=5 см. Найдем катет АО=√(25-9)=√16 =4см.

АО в свою очередь является катетом в прямоугольном ΔАОК, где известен второй катет КО=8 см. Найдем гипотенузу КА=√(64+16)=√80

4√5 см.

КА=КС=4√5 см.

ответ: расстояния от точки К до вершин ромба КД=КВ=√73 см, КА=КС=4√5 см.