Впрямоугольный треугольник вписан полукруг так, что диаметр лежит на гипотенузе, а центр делит гипотенузу на отрезки, равные 15 и 20 см. найти площадь треугольника и длину вписанной полукруга

Эта задача на много проще, чем кажется.
Если из центра окружности (который лежит на гипотенузе) опустить перпендикуляры на катеты, то получится квадрат и два треугольника, подобных исходному. Если обозначить радиус окружности r, больший катет большего треугольника b, меньший катет меньшего треугольника a,
то стороны исходного треугольника будут такие
(a + r, b + r, 35)
стороны меньшего треугольника
(a, r, 15)
стороны большего
(r, b, 20)
и все эти три треугольника подобны между собой.
отсюда a/r = 15/20 = 3/4;
то есть все эти три треугольника - египетские (подобные треугольнику со сторонами 3, 4, 5)
То есть уже можно написать ответ :) вычислять уже ничего не надо, надо просто "подобрать" коэффициенты подобия, чтобы гипотенузы египетских треугольников были бы 15 и 20. Само собой, это 3 и 4.
То есть a = 9, r = 12, b = 16; (получились треугольники 9, 12, 15 и 12, 16, 20)
Исходный треугольник имеет стороны 21, 28, 35, его площадь 294;
длина полуокружности πr = 12π;

Весь "трюк" в том, что r - одновременно больший катет в одном из подобных треугольников и меньший - в другом.

Диагонали трапеции образуют на основаниях подобные треугольники (по накрест лежащим углам при параллельных).

Следовательно диагонали делятся точкой пересечения в равном отношении (3/7).

Так как в равнобедренной трапеции диагонали равны, они делятся на равные отрезки и образуют равнобедренные треугольники.

Равнобедренный треугольник с углом 45 - прямоугольный (180-45*2=90).

Проведем высоту трапеции через точку пересечения диагоналей.

В равнобедренном треугольнике высота является также медианой.

А в данных треугольниках высоты являются медианами из прямого угла, следовательно равны половинам гипотенуз.

Высота трапеции равна 7/2 +3/2 =5

Диагонали трапеции образуют на основаниях подобные треугольники (по накрест лежащим углам при параллельных).

Следовательно диагонали делятся точкой пересечения в равном отношении (3/7).

Так как в равнобедренной трапеции диагонали равны, они делятся на равные отрезки и образуют равнобедренные треугольники.

Равнобедренный треугольник с углом 45 - прямоугольный (180-45*2=90).

Проведем высоту трапеции через точку пересечения диагоналей.

В равнобедренном треугольнике высота является также медианой.

А в данных треугольниках высоты являются медианами из прямого угла, следовательно равны половинам гипотенуз.

Высота трапеции равна 7/2 +3/2 =5