Основа рівнобедреного трикутника = 5 см, а бічна сторона 20 см. знайдіть бісектрису трикутника проведену з вершини кута при його основі.

ΔАВС: АВ=ВС=20, АС=5.
Биссектриса АК проведена из вершины А на ВС.
ВК+СК=ВС
ВК=20-СК
По свойству биссектрисы
АС/СК=АВ/ВК
5/СК=20/(20-СК)
100-5СК=20СК
СК=4
Тк. АВ=АС/2cos A
cos A=АС/2АВ=5/2*20=1/8
Углы при основании равны, значит cos A=cos С=1/8
По теореме косинусов:
АК²=АС²+СК²-2АС*СК*cos C=5²+4²-2*5*4*1/8=41-5=36
АК=6

50, а проекция наклонной равна 6 см. Чему равна длина перпендикуляра, проведённого из этой же точки к плоскости?

4) Если прямая перпендикулярна двум радиусам круга, как она расположена по отношению к самому кругу?

5) Сколько можно провести прямых перпендикулярных данной прямой через данную точку, если а) эта точка лежит на прямой; б) эта точка не лежит на прямой?

6) Как между собой располагаются две прямые перпендикулярные одной и той же плоскости?

7) Могут ли перпендикуляр и наклонная, проведённые из одной и той же точки, иметь равные длины?

Дано :Δ АВС, АВ=ВС. О-центр вписанной окружности. ВО=34, ОN=16 см.
      
OK=OM=ON=16 - радиусы вписанной окружности.
Стороны треугольника являются касательными к окружности.
По свойству касательной, проведенной из одной точки к окружности, отрезки касательных равны:
ВК=ВМ=30 по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ОВМ:
ВМ²=ОВ²-ОМ²=34²-16²=(34-16)(34+16)=18·50=900=30²
АК=АN=CM=CN=x
Так как треугольник равнобедренный и  BN=(34+16)=50 cм -  высота и медиана и биссектриса.
По теореме Пифагора из треугольника АВN:
AB²=BN²+AN²
(30+x)²=50²+x²,
900+60х+х²=2500+х²,
60х=1600.
6х=160,
х=80/3
S(ΔABC)=1/2 ·2x·50=50x=50·80/3=4000/3 кв.см