Медиана проведённая к боковой стороне равнобедренного треугольника делит его периметр на части 18 см и 10 см найди стороны равнобедренного треугольника.сколько решений имеет ?

Задача имеет 2 решения, так как деление периметра на части имеет 2 варианта - основание треугольника может входить в 18 или в 10 см.

Обозначим основание за х.
Периметр треугольника равен 18 + 10 = 28 см.
Боковая сторона равна (28 - х) / 2
Половины второй боковой стороны равны (28 - х) / 4.
Примем 1 вариант деление периметра:
((28 - х) / 2) + (28 - х) / 4 = 10
(28 - х) * 3 = 40
84 - 3х = 40
3х = 84 - 40 = 44
х = 44 / 3 =  14.66667 см    это основание
(28 - (44/3)) / 2 =  6.666667     это боковые стороны.

 2 вариант:
((28 - х) / 2) + (28 - х) / 4 = 18
(28 - х) * 3 = 72
84 - 3х = 72
3х = 84 - 72 = 12
х = 12 / 3 =  4 см    это основание
(28 - 4) / 2 =  24 / 2 = 12 см     это боковые стороны.

диагональ прямоугольника вписанного в окружность равна d=10 см,
она же является диаметром окружности
тогда радиус R=d/2 =10 /2 = 5 см
S =48 см2
стороны прямоугольника a  и   b
составим систему уравнений
S = a*b ; 48 =ab ; b =48/a  
d^2 = a^2 +b^2 ; 10^2 = a^2 +b^2 (1)
подставим b   в  (1)
10^2 = a^2 +(48/a)^2
a^4 - 100a^2 +2304 = 0
a^2 = y    замена переменной
y^2 -100y +2304 = 0
квадратное уравнение
y1 = 64 ; a^2 = 64 ; 
a1 = -8 не подходит a>0
a2 =  8 ; b2 =  6
y2 = 36 ; 
a3 = - 6 не подходит a>0
a4 =   6 ; b4 =  8
ОТВЕТ
стороны  6 см; 8 см
радиус   5 см

Может не быстро, но надеюсь, что понятно.
Так как треугольник равнобедренный, то медиана ВК, это и биссектриса, и высота, значит угол КВС = 120/2 = 60, а треугольник ВКС – прямоугольный. Отсюда имеем:
ВК = КС/tg(BKC) = 3*sqrt(7)/sqrt(3) = sqrt(21)
Пусть медианы пересекаются в точке О (есть такая теорема о пересечении медиан в одной точке в любом треугольнике, кстати, её легко доказать). Кроме того, отрезки медиан треугольника относятся в точке пересечения, как 1:2. Так как треугольник ОКА прямоугольный, получаем:
АO^2 = AK^2 + OK^2 = AK^2 + (1/3 *BK)^2 = 63 + 21/9 = 588/9 = 14/sqrt(3)
Медиана АМ = 14/sqrt(3) * 3/2 = 7*sqrt(3)
Что непонятно, спрашивай…