Дан куб abcda1b1c1d1. докажите, что плоскость проведенная через середины ребер ab, bc, bb1, параллельна плоскости acb1. вычислите периметр треугольника acb1, если ребро куба 2 см.

пусть плоскость проведенная через середины ребер ab, bc, bb1 пересекает эти ребра в точках n, m, k соответственно.

δ bmn - равнобедренный, прямоугольный ==> угол m=углу n = 45 градусов

δ acd - равнобедренный, прямоугольный ==> угол a=углу c = 45 градусов

==>

mn || ac(т.к соответственные углы равны, при пересечении данных прямых  прямой  вс)

 

δ bкn - равнобедренный, прямоугольный ==> угол к=углу n = 45 градусов

δ abb1 - равнобедренный, прямоугольный ==> угол a=углу b1 = 45 градусов

==>

ab1 || kn(т.к соответственные углы равны, при пересечении данных прямых  прямой  вb1)

==>

плоскость acb1 || kmn

 

δ acb1 - равносторонний(ab1=b1c=ac)

рассмотрим δ acd - равнобедренный, прямоугольный, ==>

по т-ме пифагора ac^2 = ad^2+cd^2 = 2*ad^2            ac= ad* корень из 2 = 2корня из 2

pacb1 = 3*ac = 6корней из 2

 

Вравнобедренном треугольнике тупой угол (а он может быть только один в треугольнике) равен 120°. высота из этого угла к основанию, это и медиана, и биссектриса (свойство). пусть высота из вершины тупого угла равна х, тогда боковая сторона треугольника равна 2х (против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы). по пифагору находим высоту и боковую сторону: 4х²-х²=6². отсюда х=h=2, 2х=4 (боковая сторона). площадь треугольника равна s=(1/2)*h*12=12. эту же площадь можно найти как произведение: (1/2)*высота к боковой стороне*бок.сторона. отсюда высота к боковой стороне равна 2s/бок.сторона или 24/4=6. ответ: искомая высота равна 6.

Практически решаем в два действия. 1. раз у прямого угла проведена биссектриса, то она отсекает половину прямого угла, то есть 90 / 2 = 45 градусов. по условию имеем, что эта же биссектриса образует с гипотенузой угол 70 градусов. а нам известен такой факт, что в любом треугольнике сумма углов равна 180 градусов. таким образом, один из острых углов треугольника (давай назовём его а) равен а = 180 - 45 - 70 =   65 градусов. 2. применим то же знание о сумме углов к большому треугольнику, и получим значение второго острого угла (назовём его в) в = 180 - 90 - а = 180 - 90 - 65 = 25. вот и ответ: острые углы а=65 и в=35 градусов.