Впрямоугольной трапеции abcd (угол а прямой) основание bc вдвое меньше ad и боковая сторона cd=10 см.найдите диагональ ac.

Проведем высоту СЕ. Для треугольника ACD высота трапеции СЕ является медианой, так как АЕ = ED (по условию), и высотой (по построению). Следовательно, треугольник ACD - равнобедренный, и AC = CD = 10 см.

ответ: 10 см.

в ромбе стороны равны,  диагонали пересекаются по прямым углом. Проведем через  отмеченные точки отрезки. Рассматриваем треугольники, образованные диагоналями и отрезками.

1 - меньшая диагональ: имеем два больших треугольника с основанием диагональю, а в них два меньших с основаниями - отрезками. Треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними с коэффициентом подобия 2:5 (3+2=5 - сторона ромба из 5 частей).  Из подобия вытекает, что отрезки параллельны диагонали ромба параллельны между собой.  Большая диагональ перпендикулярна меньшей, а значит и отрезкам параллльеным этой диагонали.

2- большая диагональ - аналогично, коэффициент подобия 3:5.  Отрезки параллельны меньшей диагонали и перпендикулярны  большей. 

Отсюда имеем прямоугольник

Пусть дан треугольник ABC, у которого ∠A -тупой, CF и BE - его высоты, проведенные к сторонам AB и AC соответственно, и пусть продолжения этих высот пересекаются в точке D. Т.к. угол А - тупой, то D лежит вне ABC.
Тогда ∠CAB=180°-∠CAF. Но ∠CAF=∠CDE, т.к. треугольники CAF и CDE - прямоугольные с общим углом С, т.е. ∠CAB=180°-∠CDE. Значит sin(∠CAB)=sin(180°-∠CDE)=sin(∠CDE)=sin(∠CDB). По теореме синусов радиус окружности, описанной около ABC, равен BC/(2sin(∠CAB)), а радиус окружности, описанной около CDB равен BC/(2sin(∠CDB)). В силу равенства синусов, получаем равенство радиусов этих окружностей, что и требовалось.