Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 см и 4 см, боковое ребро 12 см. найдите площадь поверхности описанного шара.

Sшара = 4πR²,  R -это половина диагонали параллелепипеда, а   d² = a² + b² + c² = 3² + 4² +12² = 9 + 16 + 144=169⇒d =13⇒
⇒R = 6,5⇒Sшара = 4π6,5²= 4π·42,25=169π(см²)

Плоский угол при вершине пирамиды- это угол при вершине боковой грани, противолежащей стороне при основании пирамиды.

Так как пирамида правильная, то боковые рёбра равны треугольник боковой грани равнобедренный, а учитывая то, что угол при его вершине равен 60°, он ещё и правильный, то есть равносторонний, значит все рёбра пирамиды равны.

Высота пирамиды имеет основание в центре описанной окружности около основания пирамиды.

Пусть сторона основания (ребро пирамиды) равна а, тогда R=a/√3.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, её боковым ребром и радиусом описанной около основания окружности:

a²=R²+h²,

a²=a²/3+4²,

a²-16=a²/3,

3а²-48=а²,

2а²=48,

а²=24.

Площадь боковой грани: S=a²√3/4=24√3/4=6√3 см².

Площадь боковой поверхности: Sб=3S=18√3 см² - это ответ. 

1) накрест лежащие углы, соответственные углы. 2) Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайских или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли "ходульным" и "надуманным". Но такое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида является заключительным звеном в цепи предложений 1-й книги "Начал". Для того, чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен был именно выбранный им путь. 3) 1 прямая 4) на любом луче от его начала можно отложить отрезок равный данному, и притом только 1. 5) от любого луча в любую сторону можно отложить угол , равный данному неразвернотому углу, и притом только 1 . 6) 1