Отрезок пересекает плоскость; а его концы отстоят от плоскости на 3 и 12 см. найти расстояние от середины этого отрез

Так как в условии ничего нет про угол, под которым отрезок пересекает плоскость, примем его за 90°. В этом случае действительно можно говорить о том, что расстояния от концов отрезка до плоскости являются частями самого отрезка, то есть перпендикуляры из концов отрезка на плоскость совпадают с самим отрезком.
Тогда длина отрезка: L = h₁+h₂ = 3 + 12 = 15 (cм)
                           и   L/2 = 7,5 (cм)
Так как концы отрезка находятся по разные стороны плоскости, расстояние от середины отрезка до плоскости будет меньше половины длины отрезка на величину расстояния от ближнего к плоскости конца отрезка до самой плоскости. То есть: 
                               h = L/2 - h₁ = 7,5 - 3 = 4,5 (см)

ответ: расстояние от середины отрезка до плоскости 4,5 см

Решение через подобие треугольников. (см. рис.)

Расстоянием от точки до плоскости является перпендикуляр, опущенный из этой точки на данную плоскость.
Следовательно, АА₁⊥α  и  ВВ₁⊥α.
Через точки А₁ и В₁ проведем прямую А₁В₁.
Рассмотрим треугольники АА₁О и ВВ₁О:
        Данные треугольники являются прямоугольными и
        ∠АОА₁=∠ВОВ₁, как вертикальные.
Значит, данные треугольники подобны по двум углам, и АО/ОВ = 12/3 = 4
Обозначим ОВ₁=х, тогда ОА₁=4х
Весь отрезок АВ=х+4х=5х, и половина отрезка    АВ:2 = АС = СВ = 5х:2 = 2,5х
Тогда отрезок ОС = 4х-2,5х = 1,5х

Рассмотрим треугольники АОА₁ и СОС₁:
         Так как СС₁⊥α  => CC₁⊥A₁B₁
         ∠АОА₁ - общий
Следовательно, эти треугольники также подобны по двум углам, и
         АО/CO = 12/CC₁
         4x/1,5x = 12/CC₁
         CC₁ = 12*1,5/4 = 4,5 (см)

ответ: 4,5 см    
                  

В треугольнике АВС отношение АР:РС=2:3.
 Высота у треугольников АВР и ВРС общая, значит, точка Р делит площадь треугольника АВС на два в отношении 2:3 
Площадь одной части этого отношения равна 35:(2+3)=7, и площадь
∆ АВР=2*7=14 
Пусть в треугольнике АВР точка пересечения биссектрисы  АК и отрезка ВР будет Н.
Так как ВН=НР, АН - медиана и делит площадь ∆АВР пополам (свойство). 
Тогда площадь ∆ АВН=14:2=7 
Биссектриса угла треугольника делит противоположную углу сторону в отношении прилежащих сторон (свойство). ⇒ 
Так как АВ:АС=2:5, то  ВК:КС= 2:5 
Высота из А в треугольниках АВК и АКС  одна и та же, следовательно, площади треугольников АВК и АКС относятся как 2:5. 
Отсюда площадь ∆ АВК=35:(2+5)*2=10 
Т.к. площадь АВН=7, то Ѕ ∆ ВНК=Ѕ ∆ АВК-Ѕ ∆ АВН=10-7=3 
В треугольнике ВРО отрезок НК || РО, и ВН=НР, поэтому НК его средняя линия. Треугольники ВНК иВРО подобны,  k=1/2.
 Отношение площадей  подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия.⇒
  Ѕ∆ ВНК:Ѕ ∆ ВРО=k²=1/4 
Тогда площадь ∆ ВОР=4 площади ВНК и равна 3*4=12 
Площадь  четырехугольника АВОР равна
 Ѕ  ∆ АВР+Ѕ ∆ВРО=14+12=26 (ед. площади)

Треугольники АМК и ВМС подобны за равными углами ∠М - общий ∠КАМ=∠МВС( ВСпаралельно АК углы КАВ и АВХ внутренние разносторонние а ∠АВХ=∠МВС- как вертикальные 
Углы АКС и МСВ равны аналогично ВС паралельно АК ∠АКСи∠КСУ равны как внутренние разносторонние а ∠КСУ=∠МСВ как вертикальные 
(ВС прслева от В на прямой ВС поставь Х а справа от С точку у)
Треугольники подобны значит соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны составим пропорцию АМ
АМ/BM=AK/BC AM=AB+BM=4+8=12
12/8=18/BCза основным свойством пропорции произведение крайних членов равно произведению средних 
BC·12=8·18
ВС=8·18/12
BC=12