Длина ребра куба abcda1b1c1d1 равна 2а, точка р- середина отрезка вс.найдите: а)расстояние между прямыми b1d и ap б)угол между прямыми b1d и ap. решите плз, три дня голову ломаю, а завтра сдать уже над.

Прямые АР и B1D - скрещивающиеся, так как лежат в разных плоскостях и не пересекаются.
Цитаты: "Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой. Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся".
Построение:
Проведем прямую КL через точку D параллельно АР.
В точках пересечения этой прямой с продолжениями ребер ВА и ВС получим точки L и K соответственно. Соединив точки К, В1 и L, получим сечение КВ1L, параллельное прямой АР. Таким образом, искомое расстояние - это расстояние от прямой АР до плоскости КВ1L, а искомый угол - угол KDB1.
Проведем DO⊥РA до пересечения с ребром АВ а точке М.
Из точки М восстановим перпендикуляр МТ до пересечения с линией
сечения ВL. Тогда плоскость DTM перпендикулярна плоскости основания и плоскости сечения, а перпендикуляр ОН в прямоугольном треугольнике DQO - искомое расстояние между прямыми B1D и АР.
а) По условию:
Из треугольников АРВ, DCB и DBB1 по Пифагору:
AP=a√5, DB=2a√2, DB1=2a√3.
Из подобия треугольников NPB и NAD:
BN/ND=PN/NA=PB/DA=1/2.
DN=(2/3)*DB=4a√2/3.
AN=(2/3)AP=2a√5/3.
Площадь треугольника ADN:
Sadn=(1/2)*DN*DA*Sin45. Или Sadn=4a²/3.
Sadn=(1/2)*AN*DO, отсюда DO=2S/AN=4a/√5.
OA=√(DA²-DO²)=√(4a²-16a²/5)=√[(20a²-16a²)/5]=2a/√5.
ΔDAO~ΔAOM, так как <OAM=<AMO (соответтвенные стороны взаимно перпендикулярны: АМ⊥AD и MO⊥AO). Тогда
AM/DA=AO/DO, AM=DA*AO/DO=a, и АМ=МВ=а   =>  DM=AP=a√5.
DK(KL)║AP по построению.
Треугольник PBN подобен ΔKBD, а ΔBNA подобен ΔDBL  и  
BP/BK=BN/BD=1/3.
BK=3a. BL=6a.  AL=4a.  LM=5a.
ΔLMT подобен ΔLBB1.
MT/BB1=LM/LB, MT=LM*BB1/LB.
MT=5a*2a/6a=5a/3.
DM/DO=MT/OQ.
OQ=MT*DO/DM=(5a/3)*(4a/√5)/a√5=4a/3.
DQ=√(DO²+OQ²)=√(16a²/5+16a²/9)=4a√14/(3√5).
ОН=DO*OQ/DQ или ОН=(4a/√5)*(4a/3)/[4a√14/(3√5)]=4a/√14=2a√14/7.
ответ: расстояние равно 2a√14/7.

б) Угол KDB1 - искомый угол между прямыми B1D и АР.
KB=3a. KB1=√(KB²+BB1²)=√(9a²+4a²)=a√13.
DB1=2a√3.  KD=√(KC²+DC²)=√(a²+4a²)=a√5.
По теореме косинусов:
Cosα=(KD²+DB1²-KB1²)/(2*KD*DB1).
Cosα=(5a²+12a²-13a²)/(2*a√5*2a√3)=1/√15.
ответ: угол α=arccos(1/√15). α ≈ 75°.

Координатный метод:
Поместим начало координат в вершину А.
Вектор АР{2a;a;0},  |AP|=√(4a²+a²+0)=a√5.
Вектор B1D{-2a;2a;-2a},  |В1D|=√(4a²+4a²+4a²)=a√12=2a√3.
cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)]
cosα=(-4a²+2a²+0)/(a√5*2a√3]=-2a²/2a²√15= -1/√15.
ответ: α=arccos(1/√15). α ≈ 75°.

Имеем точки А и D и направляющие вектора прямых B1D и АР:
А(0;0;0); n1{2a;a;0} (1) и D(0;2a;0); n2{-2a;2a;-2a}.
Есть формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:
d(a;b)=|(n1*n2*M1M2)|/|n1*n2| где произведения - это произведения векторов, а М1 и М2 - произвольные точки этих прямых - в нашем случае точки А и D.
Находим смешанное произведение векторов:
(n1*n2*M1M2)=|2a -2a  0|
                         |a   2a 2a|
                         |0  -2a  0|  = 2a(4a²)-a*0-0*4a=8a³.
Произведение векторов n1 и n2:
n1*n2=| i     j    k  |
           | 2a a    0  |
           |-2a 2a -2a| = i(-2a²-0)-j(-4a²)+k(4a²+2a²) = -2a²i+4a²j+6a²k.
Модуль |n1n2|=√(4a+16a+36a)=a²√56.
Тогда искомое расстояние равно 8a³/a²√56 =a*4/√14=2a√14/7.

Пусть углы при основании равнобедренного треугольника равны а градусов. А угол при вершине равен b.

Тут возможны два случая 

1) a>b. Тогда a=b+15. По теореме о сумме углов треугольника

a+a+b=180°

b+15°+b+15°+b=180°

3b+30°=180°

Поделим обе части на 3.

b+10°=60°

b=60°-10°

b=50°

a=50°+15°

a=65°

2) b>a. Тогда b=a+15. По теореме о сумме углов треугольника

a+a+b=180°

a+a+a+15°=180°

3a+15°=180°

Поделим обе части на 3.

a+5°=60°

a=60°-5°

a=55°

b=55°+15°

b=70°

ответ: два случая 
1) b=50°, a=65°, a=65°

2) b=70°, a=55°, a=55°.

Второй острый угол треугольника - 180-90-60=30°;
В прямоугольном треугольнике, против угла в 30° лежит катет равный половине гипотенузы. 
20/2=10 см;
второй катет находим по т. Пифагора - √(20²-10²)=√300=10√3;
площадь прямоугольного треугольника - произведение длин катетов деленное на два;
10*10√3/2=50√3 ед².

Второй
После того как нашли длину катета можно сразу найти площадь треугольника через две стороны и угол между ними. Одна сторона - 20 (гипотенуза), другая сторона - 10 (катет лежащий против угла 30°). Значит угол между катетом и гипотенузой - 60°;
площадь треугольника равна произведению длин сторон умноженную на синус угла между ними деленное на два. Синус 60°=√3/2 - табличное значение.
площадь - 10*20*√3/(2*2)=50√3 ед².