Втреугольнике авс проведена биссектриса аd. найти сторону ав, если ас= 3 см сd = 2 см, вd = 5 см.

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон. (теорема) ⇒
АВ:АС=ВD:DС
АВ:3=5:2
2АВ=15
АВ=7,5 см

1. угол АСL = углу LCB (т.к. CL  - биссектриса)
2. СМ = 1/2 АВ  (в соответствии с теоремой меридиана = 1/2 гипотенузы)
1/2 АВ = АМ=МВ (т.к. СМ - меридиана и делит гипотенузу пополам)
отсюда СМ = МВ
сответственно - СМВ это равнобедренный треугольник и у него углы у основания равны
поэтому угол МСВ = углу МВС
3. угол В (он же угол МВС=углу МСВ) можно выразить в треугольник АВС как 180 - (90- угол А) = 90 - угол А
в треугольнике АСН угол АСН можно выразить в треугольнике АСН как 180 - (90 - угол А) = 90 - угол А
следовательно угол АСН = углу МСВ
4. угол АСL (АСН + НСL) = углу LСВ (LСМ + МСВ)
при равенстве угол АСН = углу МСВ получается равенство, изначально стоящее в задаче в качестве доказывания HCL = LCM

Рассмотрим треугольник АВС и СВМ. Угол В у них общий, угол С = углу СМВ (СМ-высота)=90, значит и третьи углы будут равны (сумма трех  углов = 180). Значит треугольники подобны по трем углам. Раз они подобны, то можем написать соотношение сторон:
СВ/АВ=МВ/СВ=СМ/АС из этого равенства берем только первое
СВ/АВ=МВ/СВ, СВ*2=АВ×МВ, так как АВ=АМ+МВ=10, то СВ*2=10×8
СВ=√80=4√5, зная АВ, можем найти АС по т. Пифагора
АС*2=АВ*2-СВ*2=100-80=20, АС=√20=2√5
теперь находим sinA=АС/АВ=2√5/10=√5/5=1/√5
cosA=СВ/АВ=4√5/10=2√5/5=2/√5
TgА=АС/СВ=2√5/4√5=1/2