Высота прямоугольного треугольника, равна 8 делит гипотенузу на отрезки, разность длин которых равна 12 найдите длину гипотенузы

это на тему "соотношения в прямоугольном треугольнике".

квадрат высоты, опущенный на гипотенузу равен произведению отрезков,на которые эта высота разбивает гипотенузу.

 

пусть отрезки, на которые высота разбивает гипотенузу, равны х и у,

тогда ху=8^2=64.

по условию, х-у=12

решим систему уравнений:

 

 

 

 

-длина гипотенузы

проведём прямую ml перпендекулярную стороне dc. она делит треугольник dmc на 2 равных треугольника. докажем равенство   dlm и adm: в любом параллелограмме противоположные стороны параллельны, dm секущая,селовательно, < mdl = < dma, < adm = < dml, md - общая сторона, следовательно, треугольники равны. т. к. ml - высота (медиана и биссекриса) и треугольники равны, то < dlm = < dam = 90 гравдусов. доказываем равенство остальных треугольников (lmc и cmb, lmc и dlm) подобным abcd - прямоугольник. (все углы по 90 градусов, противоположные стороны равны и параллельны)

Треугольники авс и кас подобны (дано). против большей стороны в треугольнике лежит больший угол и этот угол - тупой (дано). в треугольнике авс большая сторона ас=3√2≈4,2; средняя ав=√14≈3,7; а меньшая вс=1. значит < аbc - тупой и равен < kac. в подобных треугольниках соответственные углы равны, а по условию прямая кс проходит между точками а и в, следовательно, < bac=< ack, a < akc=< acb. найдем косинус угла  акс, определив косинус углв асв в треугольнике авс по теореме косинусов: cos(aсв)=(bc²+ac²-ab²)/(2*bc*ac). cos(aсв)=(1+18-14)/(6√2)=5/6√5=5√2/12≈0,589.        < bca≈54°. ответ: cos(akc)=5√2/12≈0,589.