Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 19

Длина стороны квадрата равна диаметру вписанной в него окружности.
D=2r=2*19=38
Длина стороны квадрата равна 38.
Площадь квадрата 
(кв. ед.)

Объём шара 
Объём усечённого конуса 
Обозначим угол между образующей конуса и плоскостью его основания α.
Проведём осевое сечение и получим равнобедренную трапецию с вписанной в неё окружностью.
В этом случае r1 = R*tg(α/2).  r2 = R/(tg(α/2)), r1*r2 = R².
Запишем заданное отношение объёмов:
((4/3)R³π)/((1/3)π*(2R)*(R*tg(α/2))+(R/tg(α/2))+R²) = 6/13.
Приводим к общему знаменателю:
13R²(tg²(α/2)) = 3R²(tg⁴(α/2)) + 3R² + 3R²(tg²(α/2)).
Сокращаем на R² и делаем замену tg²(α/2) = х.
Получаем квадратное уравнение:
3х² - 10х + 3 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-10)^2-4*3*3=100-4*3*3=100-12*3=100-36=64;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√64-(-10))/(2*3)=(8-(-10))/(2*3)=(8+10)/(2*3)=18/(2*3)=18/6=3;x_2=(-√64-(-10))/(2*3)=(-8-(-10))/(2*3)=(-8+10)/(2*3)=2/(2*3)=2/6=1/3.
Получаем 2 решения: tg²(α/2) = 3,      tg(α/2) = √3,
                                     tg²(α/2)  = 1/3,   tg(α/2) = 1/√3.
Отсюда угол равен 120 и 60 градусов, что соответствует острому и тупому углам трапеции в сечении конуса.

ответ: угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен 60 градусов.

Дано:                                                       Решение:
SABCD - правильная
AB = BC = BS = 1                ΔSCD и ΔSAB - равносторонние
SM = MC; SK = KB              CD = AB и CM = KB; => DM⊥SC и AK⊥SB
-----------------------------          Следовательно: AK = MD
Доказать:  AK = MD            и трапеция AKMD - равнобедренная 
Найти:  cos α                      

Построим SF⊥BC. Так как ΔBSC - равносторонний, то BF = FC = 0,5
Тогда:
            SF = √(SC²-FC²) = √0,75 = √3/2
        и  NF = SF/2 = √3/4

SX - высота пирамиды.
В ΔSXF:  ∠SXF = 90°; XF = 0,5; SF = √3/2
Тогда:
             SX = √(SF²-FX²) = √(0,75-0,5) = √0,25 = 0,5
и ΔSXF - равнобедренный, т.е. SX = XF = 0,5  и ∠SFX = 45°

В трапеции AKMD находим NP = MP': 

 так как KM = BC/2 по условию, то MN = BC/4 = 0,25
 так как DM⊥SC и СМ = 0,5; DC = 1, то: DM = √(1-0,25) = √3/2
 Тогда:
      NP = MP' = √(DM²-(PD-MN)²) = √(3/4 - (0,5-0,25)²) =√(11/16) = √11/4

В  ΔNPF:  NP = √11/4; NF = √3/4; PF = 1
По теореме косинусов:
                                    NF² = NP² + PF² - 2*NP*PF*cosα
                                    3/16 = 11/16 + 1 - 2√11/4 * 1 * cosα
                                    √11/2 * cosα = 11/16 - 3/16 + 1
                                    cosα = 3√11/11
                                    cosα = 0,9
                               
ответ: 0,9