Втрапеции abcd проведены диагонали ac (пересекаются в точке о) и bd. известно, что ad 18, bc 12и ac 8. найдите длину отрезка ao

Треугольники ВОС и АОД подобны по двум углам:
∠ВОС=∠АОД как вертикальные

∠ВСО=∠ОАД как внутренние накрест лежащие при параллельных ВС и АД и секущей АС

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон.
АО: ОС=АД:ВС
Пусть АО=х, тогда ОС=8-х
х:(8-х)=18:12
Применяем основное свойство пропорции:
произведение средних  членов пропорции равно произведению крайних
12х=18·(8-х)
12х=144-18х
12х+18х=144
30х=144
х=4,5
ответ. АО=4,5 см

Дано: треугольник АВС; АВ=ВС; ВК, ВМ пересекают АС; АМ = КС
Доказать: КВ = ВМ; угол ВКМ = углу ВМК
Доказательство:
1.треугольник АВС - равнобедренный (АВ=ВС - дано)
треугольник ВАМ = треугольнику ВКС по первому признаку равенства треугольников (АВ=ВС - дано, АМ=КС - дано, угол ВАМ = углу ВСК), значит, все элементы треугольников равны => КВ=ВМ
2.угол 1 = углу 2 - доказано; 
угол 1 + угол 3 = 180 градусов
угол 2 + угол 4 = 180 градусов
т.к. угол 1 = углу 2, угол 3= углу 4

(я знаю, доказательство 2 неточное; мысль есть - а сформулировать не получается) 

В осевом сечении - равносторонний треугольник, значит АВ=ВС=АС=2R. ВК=BL=АВ=ВС, как образующие. Искомый угол между плоскостями - угол ОВМ = β, как линейный угол, образованный сечением, перпендикулярным к обоим плоскостям (АС параллельна KL). Из прямоугольного треугольника ОВМ:  Cosβ = ВО/ВМ.
ВО=√3*а/2, где а=2*R. То есть ВО=R√3.
ВМ найдем как высоту равнобедренного треугольника KBL: ВМ=ВК*Cos(α/2), так как ВМ - высота, биссектриса и медиана треугольника КВL.
Итак, ВМ=2*R*Cos(α/2), ВО=R√3, отсюда косинус искомого угла равен
Cosβ = R√3/(2*R*Cos(α/2)) = √3/2Cos(α/2).
ответ: искомый угол равен arccos(√3/2Cos(α/2)).