Сторона треугольника равна 12см, а высота , проведённая к ней, в три раза меньше стороны найдите площадь прямоугольника

(12*12/3)/2=(12*4)/2=48/2=24 см.кв.

Сторона правильного шестиугольника равна радиусу Описанной около него окружности. Соединим концы стороны шестиугольника с центром окружности. Получим правильный треугольник. Площадь правильного треугольника равна S=(√3/4)*R². Таких треугольников 6.
В нашем случае S=6√3дм².
Или:
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Высота правильного треугольника по Пифагору равна √(а²-а²/4)=а√3/2.
Тогда его площадь равна S=(1/2)*a*a√3/2 или S=a²√3/4. Вот мы и вывели формулу. далее, как уже было сказано: площадь шести таких треугольников равна а²√3*3/2. а=2дм. S=6√3дм²
ответ: S=6√3 дм²

Подобие получившихся прямоугольных треугольников доказывается легко:

прямоугольные треугольники с двумя вертикальными ((равными))) углами ---

подобны по двум углам...

т. е. углы В1ВА и С1СА равны)))

запишем соответствующую пропорцию:

ВВ1 / СС1 = АВ1 / АС1 = АВ / АС (((гипотенузы всегда пропорциональны...)))  

последнее равенство можно переписать так:  

((по свойству пропорции... произведение крайних членов = произведению средних членов))) АВ1*АС = АС1*АВ или так:  

АВ1 / АВ = АС1 / АС

Это равенство читается так: стороны треугольника АВ1С1 пропорциональны сторонам треугольника АВС (((две стороны))),  

АВ1 пропорциональна АВ

АС1 пропорциональна АС...  

а т. к углы между этими сторонами равны (((как вертикальные))) ---то по второму признаку подобия треугольников ---

треугольники АВ1С1 и АВС подобны

Второй признак подобия:  

Если две стороны одного треугольника пропорциональны  

двум сторонам другого треугольника и углы,  

заключенные между этими сторонами, равны,  

то такие треугольники подобны)))