Вдруг ветра порыв его ствол надломал. бедный тополь упал. угол прямой с течением реки его ствол составлял. запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. оказалось три фута всего от ствола тебя, мне поскорее скажи: у тополя как велика высота? (какова высота тополя? )

Этот треугольник очень интересно устроен - в нем основание равно биссектрисе угла при основании, и еще им равен отрезок от вершины (противоположной основанию) до точки пересечения этой биссектрисы с боковой стороной. 

То, что у так построенного треугольника угол при основании равен 72 градуса, а угол при вершине 36, показать очень легко. Поскольку биссектриса делит треугольник на 2 равнобедренных, то получается, что угол при вершине равен половине угла при основании - этого уже достаточно, поскольку (если Ф - угол при вершине) Ф + 2*Ф + 2*Ф = 5*Ф = 180; откуда Ф  = 36.

Итак, известно, что основание a равно L, и что биссектриса делит боковую сторону b на отрезки, равные L и b - L, причем по свойству биссектрисы

L/(b - L) = b/L; или (обозначим x = b/L)

x^2 - x  - 1 =0;  x = (√5 + 1)/2; отрицательный корень отброшен

ответ a = L; b = L*(√5 + 1)/2;

Если внимательно посмотреть на Гошино решение, можно понять, почему этот треугольник можно считать "замечательным" :))) sin(18) = (√5 + 1)/4;

В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС = 13см, АС = 10см.К кругу вписанному в этот треугольник, проведена касательная, которая параллельна основанию АС и пересекает сторону АВ и ВС в точках М и К соответственно. Вычислить площадь треугольника МВК.

Высота тр-ка АВС Н = √13²-5²=√144=12 cм

Из подобия треугольников найдем радиус вписанной окружности 

AB/(AC/2)=(Н-r)/r

13r = 5(12-r)

13r+5r=60

18r=60

r = 3⅓ см

Высота тр-ка МВК  h=H-2r = 12-20/3 = 16/3 см

Из подобия тр-ков МК/AC=h/H, MK=10*(16/3)/12 = 40/9 см

S = ½MK*h = 40*16/(2*9*3)= 320/27 = 11+23/27 cм²