Все рёбра правильной треугольной пирамиды sbcd с вершиной s равны 9. основание o высоты so этой пирамиды является серединой отрезка ss1, m — середина ребра sb , точка l лежит на ребре cd так, что cl : ld = 7 : 2. а) докажите, что сечение пирамиды sbcd плоскостью s1lm — равнобокая трапеция. б) вычислите длину средней линии этой трапеции.

Радиус перпендикулярен касательной в точке касания. Касательные из одной точки к окружности равны. Отрезки, соединяющие центр окружности и точку, из которой проведены касательные являются биссектрисами углов между этими касательными и углов между радиусами, проведенными к этим касательным в точки касания. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Сумма всех углов с вершиной в центре окружности равна 360°.  Следовательно:

<NML=2*28=56°, <MNL=2*31=62°, <NLM=180-56-62=62°, <AOM=90-28=62°, <AON=90-31=59°, <NOB=<AON=59°, <MOC=<AOM=62°, <AOC=2*<AOM=124°, <AOB=2*<AON=118°, <COB=360-124-118=118°, <COL=<BOL=<COB:2 = 59°.

Рассмотрим ∆RQC и ∆PQC.
RC = QR = QP = CP
CQ - общая сторона.
Значит, ∆RQC = ∆PQC - по III признаку.
Из равенства треугольников => ∠RQC = ∠PQC и ∠RCO = ∠PCO
Рассмотрим ∆ROQ и ∆POQ
∠RQC = ∠PQC
RQ = PQ
OQ - общая сторона
Значит, ∆ROQ = ∆POQ - по I признаку.
Из равенства треугольников => ∠QRO = ∠QPO.
Рассмотрим ∆RCO и ∆PCO.
RC = CP
CO - общая сторона
∠RCO = ∠PCO
Значит, ∆RCO = ∆PCO - по I признаку.
Из равенства треугольников => ∠CRP = ∠CPR.
∠ARQ = 180° - ∠QRP - ∠CRP.
∠BPQ = 180° - ∠RPQ - ∠CPR.
∠QPR = ∠RPQ.
∠CEP = ∠CPR.
Значит, ∠ARQ = ∠BPQ
Рассмотрим ∆ARQ и ∆BPQ.
∠ARQ = ∠BPQ
∠AQR = ∠BQR
RQ = QP
Значит, ∆ARA = ∆BPQ - по II признаку.
Из равенства треугольников => BP = AR.