Удвух углов - общая вершина, каждый из этих углов равен 60°, обязательно ли это углы вертикальные?

Нет, ахахах. Вот фотка.

Сама долго мучилась с этой задачей(
Пусть в треугольнике АВС равные стороны АВ и АС равны х, тогда большая сторона ВС равна 0.75*(х+х)=1.5х 
Так как треугольник равнобедренный, то биссектриса к основанию является медианой и высотой, то есть точка М делит основание пополам ВМ=МС=0.75х. Рассмотрим треугольник АМС. В нем угол АМС прямой, АМ=4 по условию.По теореме Пифагора АС^2=АМ^2+МС^2, то есть х^2=4^2+0.75х^2, откуда х=АС=16/корень из 7. Далее по теореме синусов АМ/синусАСМ=АС/синусАМС, то есть 4/синус АСМ =16/корень из 7, откуда синус АСМ=корень из 7/4. 
Проведем в треугольнике АМС высоту МН, это и будет искомое расстояние. Тогда в треугольнике МНС по теореме синусов МН/синус АСМ=МС/синус МНС. Угол МНС прямой, МС=0.75х=12/корень из 7, таким образом после подставления получаем, что МН=3

Раз АВСД квадрат, и сторона АВ=а, то сторона ВС тоже будет а.... значит ВК будет а/3 ... КС будет а*2/3, чтобы нарисовать сечение мы должны паралеллно к АА1 через точку К провести прямую, тогда скажем что эта прямая пересекает В1С1 в точке Р.... и так у нас получится прямоугольник... потому что АА1 перепендикулярна на плоскости АВСД и А1В1С1Д1... а КР паралелльна к АА1 поэтому она тоже будет перепендикулярна к плоскости АВСД и А1В1С1Д1... и так мы докозали что это прямоугольник... теперь найдем площадь прямоугольника... S=a*b... в этом у нас есть 3а .. теперь надо найти другую сторону.. расмотрим прямоугольный треугольник АВК.. ВК= а/3.. АВ=а... через теорему пифагора найдем гипотинузу АК.. она будет равна а*корень10/3.. НАКОНЕЦ ТО ПЛОЩАДЬ (обажаю завершающие моменты геометрий) ... S=3a * а*корень10/3= 2a^2 ВОТ И ВСЕ...