1) диаметр сферы равен 10 см. чему равна площадь сферы? 2) основой прямой призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник , площадь которого равна 18 см. вычислите площадь боковой поверхности призмы , если ее высота равна ( 2-√2) см.

ничего нового
1) S =4πR² =π*(2R)² =π*10²  =100 см² .

2) Sосн =18 см² ; H=(2-√2) см. 
---
Sбок -?

Sбок = P*H =(a +a +c)*H =(2a +a√2)*H =a(2+√2)*(2-√2) =2a =2*√(2Sосн)  
=2*√(2*18)=12 (см³) , т.к . S осн =a²/2⇒ a = √(2Sосн.)  .

ответ : 12 см³.

* * *Опр. длина основания : Sосн =18 см² ⇒ a²/2 =18 см² ⇒a=6 см. * * *

а)

PE ∩ AB = P₁   т.к. PE, AB ⊂ (ABC).

PE ∩ BC = E₁   т.к. PE, BC ⊂ (ABC).

P₁ и E₁ ∈ PE ⊂ (TPE)  ⇒  P₁ и E₁ ∈ (TPE).

P₁ ∈ AB ⊂ (ABS)  и  T ∈ SB ⊂ (ABS) соединяем две точке, которые лежат в одной плоскости (ABS).

P₁T ∩ SA = N ∈ (TPE)   т.к. T, P₁ ∈ (TPE).

E₁ ∈ BC ⊂ (BCS)  и  T ∈ SB ⊂ (BCS) соединяем две точке, которые лежат в одной плоскости (BCS).

E₁T ∩ SC = M ∈ (TPE)   т.к. T, E₁ ∈ (TPE).

TMEPN - нужное сечение.

б)

M, N ∈ (TPE);

M ∈ SC ⊂ (SAC) ⇒ M ∈ (SAC);

N ∈ SA ⊂ (SAC) ⇒ N ∈ (SAC).

Получается, что (TPE) ∩ (SAC) = MN

ответ: MN.

Эта задача на много проще, чем кажется.
Если из центра окружности (который лежит на гипотенузе) опустить перпендикуляры на катеты, то получится квадрат и два треугольника, подобных исходному. Если обозначить радиус окружности r, больший катет большего треугольника b, меньший катет меньшего треугольника a,
то стороны исходного треугольника будут такие
(a + r, b + r, 35)
стороны меньшего треугольника
(a, r, 15)
стороны большего
(r, b, 20)
и все эти три треугольника подобны между собой.
отсюда a/r = 15/20 = 3/4;
то есть все эти три треугольника - египетские (подобные треугольнику со сторонами 3, 4, 5)
То есть уже можно написать ответ :) вычислять уже ничего не надо, надо просто "подобрать" коэффициенты подобия, чтобы гипотенузы египетских треугольников были бы 15 и 20. Само собой, это 3 и 4.
То есть a = 9, r = 12, b = 16; (получились треугольники 9, 12, 15 и 12, 16, 20)
Исходный треугольник имеет стороны 21, 28, 35, его площадь 294;
длина полуокружности πr = 12π;

Весь "трюк" в том, что r - одновременно больший катет в одном из подобных треугольников и меньший - в другом.