Ав - диаметр окружности, ав = 13. сd - хорда, cd перпендикулярно ав и сd пересекает ав в точке к, ск = 6. найдите наименьший из отрезков, на которые точка к делит диаметр ав.

CD_|_AB⇒CK высота прямоугольного треугольника АСВ
СК²=АК*КВ,AK<KB
АК=хюВК=13-х
х(13-х)=36
х²-13х+36=0
х1+х2=13 и х1*х2=36
х1=4⇒АК=4см
х2=9 не удов усл

   В основании правильной пирамиды - правильный многоугольник (здесь - квадрат), вершина высоты проецируется в его центр. Величина двугранного угла при ребре основания - угол между апофемой и прямой, проведенной через основание высоты параллельно одной из сторон ( обе перпендикулярны ребру в одной точке). Осевое сечение этой пирамиды - правильный треугольник ( углы при основании равны 60°), поэтому сторона основания равна основанию этого правильного треугольника. АВ=КМ=SM=10 см Ѕ(ABCD)=10²=100 см²

1. Найдем уравнения плоскостей АВС и АВD.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:

|x - xA xB - xA  xC - xA|
|y - yA yB - yA  yC - yA| = 0.
|z - zA zB - zA  zC - zA|

Подставим данные трех наших точек плоскости АВС:
|x-8 2-8 2-8|                 |x-8 -6 -6|
|y-9 1-9 3-9| = 0.  Или |y-9 -8 -6| = 0.
|z-6 7-6 8-6|                 |z-6  1  2|
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:
         |-8 -6|            |-6 -6|            |-6 -6|
(х-8)*| 1  2| - (y-9)* | 1  2| +(z-6)*|-8 -6| =0.  Отсюда

(х-8)(-16+6)-(y-9)(-12+6)+(z-6)(36-48)=0.  Или
-10x+6y-12z+46=0.
 5x-3y+6z-23=0  - общее уравнение плоскости АВС с коэффициентами
А=5, В=-3, С=6, D=-23.

Подставим данные трех наших точек плоскости АВD:
|x-8 2-8 7-8|                 |x-8 -6 -1|
|y-9 1-9 6-9| = 0.  Или |y-9 -8 -3| = 0.
|z-6 7-6 1-6|                 |z-6  1 -5|
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости ABD :
         |-8 -3|            |-6 -1|           |-6 -1|
(х-8)*| 1 -5| - (y-9)*| 1 -5| +(z-6)*|-8 -3| =0.

(х-8)(40+3)-(y-9)(30+1)+(z-6)(18-8)=0.
43x-31y+10z-125=0  - общее уравнение плоскости АВD с коэффициентами
А=43, В=-31, С=10, D=-125.
Угол между плоскостями определяем по формуле:
Cosα=|A1*A2+B1B2+C1C2|/(√(A1²+B1²+C1²)*√(A2²+B2²+C2²)  или
Cosα=|215+93+60|/(√(25+9+36)*√(43²+31²+10²)= 368/451=0,816.
Угол равен ≈35,3°.

2.  Уравнение прямой АВ по двум точкам:
(x-1)/(4-1)=(y-6)/(5-6) или
-x+1=3y-18 или y= (-1/3)*x+19/3
y= (-1/3)*x+19/3 (уравнение прямой с угловым коэффициентом).
Угловой коэффициент k1=-1/3 (условие перпендикулярности прямых: k2=-(1/k1).
Точка С(2;-2).
Уравнение прямой, перпендикулярной прямой АВ, проходящей через точку С : Y-Yc=3*(X-Xc). Подставляем наши значения: 
Y+2=3*(X-2) или 3Х-Y-8=0. - уравнение прямой Р.
Координаты точки пересечения прямых АВ и Р найдем, решив систему уравнений этих прямых:
АВ: х+3y=19 и
P:  3x-y=8.  Отсюда
х=4,3
y=4,9  
ответ: К(4,3;4,9).